NP-Completeness理解

今天大年初一，哪里也没去，在家里重新看了下IOA的NP问题。感觉看明白了。

首先定义下：

所谓P问题是指所有能在多项式复杂度解决的问题，比如排序算法，n*n复杂度解决问题。

有些问题目前没有多项式复杂度的解决方案，但是如果你给我一个解决方案，我可以在多项式时间内验证该算法是否正确。比如说bool表达式的可满足性问题，给我一个表达式，虽然我不能在多项式时间内判断它是否可满足，但是如果你给我一个答案，我能判断这个答案的正确性。这类问题就是NP问题。

P属于NP。这是很明显的。

那么P是否等于NP呢？目前看，不等于。因为存在一类NP完全的问题。

NP完全问题是NP中的一类问题，如果满足以下两个条件，那么我们说L是NP完全的：L是NP问题；所有的NP问题都可以“多项式归结”为L。

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先定义什么是问题？问题就是一个映射，把“instance”（输入）映射到“solution”（输出）。

各种问题的输出千差万别，不便于讨论，统一下，都输出true和false。这就是判定型问题，decision problem。其他那些寻找最优解的叫优化类问题。所有优化类问题都可以转变成判定型问题。

接着是语言。既然一个问题P输出都是true或者false，如果集合L中的所有instance都让P输出true，那么我们说P 接受L。这里有一个很重要的转变，就是把一个抽象的问题，变成了一个instance的集合。两个问题是难以相等或者转换的，但是两个集合是可以的，mapping。基于这个mapping就可以定义多项式归结。

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什么是多项式归结？也有两层含义：

给定两个算法，A和B。x是A输入，f是一个映射函数，能把x映射成B的输入。含义1：A(x)==B(f(x))；含义2：f(x)是多项式复杂度。

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然后我们要寻找一个NP完全问题，这个问题就是Circuit-SAT。它的意思是给任意一个集成电路，判断该电路是否会输出1.我们知道集成电路都是有若干管脚作为输入，几个管家作为输出的。这里简单起见，只有一个输出。如果我们发现一个电路只能输出0，那么我们可能发现了一个bug，或者简单的把它替换成常数。

怎么证明呢，从定义出发，先证明它是NP的，再证明所有的NP问题都可以归结到它（任意一个算法的输入实例都可以在多项式时间里变成一个集成电路）。

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它是NP的，就是要证明存在算法A，给输入x（某个集成电路），y（某种输入方式），可以判断y是否满足x。这个复杂度是线性的，满足多项式复杂度的要求。

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所有的NP问题都能归结到Circuit-SAT的问题吗？这又要解决两个问题：

1. 是否存在一个映射函数F，使得任意算法的输入x都能变成等价的一个集成电路C；

2.F是否是多项式的复杂度；

先看第一个问题，能否找到这样的F呢。下面的描述就是为了构造这个F。假定我们要把算法W归结到Circuit-SAT。W算法的验证算法是A，给定x和y，可以判断输入为x时，y是否是一个正确的答案。举个例子，W是要判断图中是否存在长度为K的路径，x代表图的数据结果，y代表最长路径的各条边，那么A是验证的算法。

如果我们把系统内存当成一个变量，那么每条指令的执行都会将一个内存快照（conf）变成另外一个（conf），我们可以认为这个映射是一个circuit完成的。

由于A(x,y)是多项式复杂度，所以conf的个数是多项式个。我们把这所有的集成电路组合起来，形成一个新的集成电路C。这样我们就把x变成了C。

也就是说，对于W而言，验证算法A(x,y)=1，当且仅当B(C,y)=1.其中B是验证集成电路的可满足性算法。

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F已经找到了，那么F是否是多项式复杂度的呢？首先x是多项式的，内存大小是多项式的，集成电路个数等于执行的指令数，也是多项式的，多项式组合在一起，还是多项式的。

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这就证明了所有NP问题都能归结到circuit-sat问题。

其实这里还有一个language的问题，我貌似还没看懂。

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如何判断一个问题是NP-hard的呢，如果一个NP完全的问题能够归结到该问题，（不管他是不是NP问题），它都是NP-hard。

由于我们已经找到了一个NP完全问题circuit-sat，对于目标问题W，只需要把circuit-sat问题归结到W的输入即可证明W是NP-hard的问题。这就很容易证明很多算法都是NP的。比如说Boolean表达式的可满足性。后续将会继续讨论。

 

首先