洛谷P2405 non天平

题目背景

non最近正在为自己的体重而苦恼，他想称量自己的体重。于是，他找来一个天平与许多砝码。

题目描述

砝码的重量均是n的幂次，n^1、n^2、n^3、n^4、n^5的……non想知道至少要多少个砝码才可以称出他的重量m。注意砝码可以放左边，也可以放右边。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个正整数m，表示non的重量；

第二行一个正整数n，表示砝码重量幂次的底；

输出格式：

一个整数表示最少所需的砝码数。

输入输出样例

输入样例#1：

99
10

输出样例#1：

2

说明

【数据范围】

对于30%的数据点，m <= 2^63 - 1

对于100%的数据点，0 <= m <= 10^10000, 0 < n <= 10000

原题目也就等价于这样一个等式
k0*10^0+k1*10^1+k2*10^2+k3*10^3=99 这里我们假设左边就三项把 方便研究
k 的系数可正可负,正就是放在右边,负就是放在左边。
那么我们要求∑|k|最小,可以这样想: 我们先考虑最小的质量是 1 的砝码,我们要确定使用了几个 1
砝码,那么我们就要把个位的 9 补平,要么是 10-1,需要一个; 要么是 0+9,需要 9 个;

显然减一下好,而且减掉一个刚好。于是我们确定了上述方程的第一项系数 k0= -1
那么方程就是这样:-1*10^0+k1*10^1+k2*10^2+k3*10^3=99
把第一项移到右边:k1*10^1+k2*10^2+k3*10^3=100
我们看到我们成功的把个位填平了,使得方程可以同除以 10
那么就变成了 k1*10^0+k2*10^1+k3*10^2=10
于是到这里我们看到了问题具有很强的 最优子结构性质。
而无后效性是显然的,我们确定了小法码的个数后,右边的个位被填平,所以我们不在需要小法码

现在有一种贪心做法，每一次把它加或减变成最近的n倍数，再分解问题

但这样显然是有问题的，但有60分，已经接近了

正解是数位dp

我们将原数进制分解，假设第i位为p[i]

那么就有几种选择：

1.直接填入p[i]个数

2.填入n-p[i]个数(放在左边)，然后第i+1位填入一个数弥补

我们设f[i][0/1]

前一维意思是处理到 n 进制
下的第 i 位,后一维意思是我们当前这一位的处理策略 0 代表直接拿出 p[i]这么多的砝码,1 代
表我们把当前位补平,进到下一位去

于是状态转移方程:
f[i][0]:=min(f[i-1][0]+p[i],f[i-1][1]+p[i]+1);
f[i][1]:=min(f[i-1][0]+n-p[i],f[i-1][1]+n-p[i]-1);

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long lol;
 lol len,a[],cnt,n,p[],ans,f[][],c[];
 int getMod()
 {
   lol s=,i;
   for (i=len;i>=;i--)
     {
       s=s*+a[i];
       s%=n;
     }
   return s;
 }
 void chu()
 {lol sum;
   int i;
   sum=;
   memset(c,,sizeof(c));
   for (i=len;i>=;i--)
     {
       sum=sum*+a[i];
       if (sum>=n)
     {
       c[i]=sum/n;
       sum%=n;
     }
       else c[i]=;
     }
   memcpy(a,c,sizeof(a));
   while (len&&a[len]==) len--;
 }
 int main()
 {int i;
   char ch=getchar();
   while (ch<''||ch>'') ch=getchar();
   len=;
   while (ch>=''&&ch<='')
     {
       len++;
       a[len]=ch-'';
       ch=getchar();
     }
   cin>>n;
   if (n==)
     {
       for (i=;i<=len;i++)
     printf("%lld",a[i]);
       cout<<endl;
       return ;
     }
   reverse(a+,a+len+);
   cnt=;
   while (len)
     {
       p[++cnt]=getMod();
       chu();
     }
   f[][]=;f[][]=;
   for (i=;i<=cnt;i++)
     {
       f[i][]=min(f[i-][]+p[i],f[i-][]+p[i]+);
       f[i][]=min(f[i-][]+n-p[i]-,f[i-][]+n-p[i]);
     }
   cout<<min(f[cnt][]+,f[cnt][]);
 }