[ZJOI2011]营救皮卡丘

题目描述

皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。

火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从11到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在NN号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为00号据点，一开始K个人都在0号点。

由于火箭队的重重布防，要想摧毁k号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。

为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过KK号据点即认为KK号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。

K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过号据点，号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。

野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。

请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！

题解

其实题目就是想让我们求\(k\)条链，覆盖住图中\(n\)个点的最小代价。

然后我们发现这道题有一个限制，就是从\(s->t\)的时候不能经过编号比t大的点，我们可以先跑一个最短路，在最短路的时候判一下就好了。

然后我们直接跑的话可以选择有上下界的费用流。

然后我们也可以用拆链的思想，把每个点拆成入点和出点，从源点向\(s\)连流量为\(k\)的边，向其他点连流量为1的边，再入点和出点之间连流量为1边，每个出点向汇点连流量为1的边就好了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 309
using namespace std;
typedef long long ll;
queue<int>q;
int head[N],tot=1,deep[N][N],dis[N],n,m,k,pre[N],ans,fl[N];
bool vis[N];
inline ll rd(){
	ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f?-x:x;
}
struct edge{int n,to,l,f;}e[N*N*4];
inline void add(int u,int v,int l,int f){
	e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;e[tot].l=l;e[tot].f=f;
	e[++tot].n=head[v];e[tot].to=u;head[v]=tot;e[tot].l=0;e[tot].f=-f;
}
inline bool spfa(int s,int t){
	q.push(s);
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	dis[s]=0;fl[s]=1e9;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].n){
			int v=e[i].to;
			if(e[i].l&&dis[v]>dis[u]+e[i].f){
				dis[v]=dis[u]+e[i].f;pre[v]=i;
				fl[v]=min(fl[u],e[i].l);
				if(!vis[v]){vis[v]=1;q.push(v);}
			}
		}
	}
	return dis[t]!=0x3f3f3f3f;
}
inline void calc(int s,int t){
	int x=t;
	while(x!=s){
		int i=pre[x];
		e[i].l-=fl[t];e[i^1].l+=fl[t];
		x=e[i^1].to;
	}
	ans+=fl[t]*dis[t];
}
int main(){
	n=rd();m=rd();k=rd();int u,v,w;
	memset(deep,0x3f,sizeof(deep));
	for(int i=1;i<=m;++i){
        u=rd();v=rd();w=rd();
        deep[u][v]=deep[v][u]=min(deep[u][v],w);
	}
	for(int i=0;i<=n;++i)deep[i][i]=0;
	for(int k=0;k<=n;++k)
      for(int i=0;i<=n;++i)
        for(int j=0;j<=n;++j)
          if(k<max(i,j))
		    deep[i][j]=min(deep[i][j],deep[i][k]+deep[k][j]);
    int s=2*n+2,t=2*n+3;
    for(int i=0;i<=n;++i){
    	if(!i)add(s,i,k,0);
		else add(s,i,1,0);
		if(i)add(i+n+1,t,1,0);
		for(int j=i+1;j<=n;++j)add(i,j+n+1,1,deep[i][j]);
	}
	while(spfa(s,t))calc(s,t);
	cout<<ans;
	return 0;
}