[HDU4609] 3-idiots - 多项式乘法,FFT
题意:有\(n\)个正整数,求随机选取一个3组合,能构成三角形的概率。
Solution: 很容易想到构造权值序列,对其卷积得到任取两条边(可重复)总长度为某数时的方案数序列,我们希望将它转化为两条边不可重复,并去掉顺序。不妨设给定的 \(N\) 个正整数的集合为 \(S\),卷积后的权值序列为 \(\{c_i\}\) ,那么我们对每一个 \(x \in S\), 对 \(c_x\) 减去 \(1\) 即可。
不妨设选出的组合为 \((i,j,k)\),假设 \({x_i}\) 为已经排序的长度序列,那么我们不妨枚举最长边下标 \(k\),那么这一次的贡献为
\]
前缀和扫一遍即可。当然问题并没有这么简单,我们这样获得的答案无法满足下列约束条件
\]
如果所有数字都不同,那么去重将是非常容易的。我们对排序后序列枚举元素下标 \(i \in [0,n)\),那么很显然以 \(i\) 为最大边时非法的共有三类。不妨设\(a_i<a_j\)
满足\(a_i>a_k, a_j>a_k\)的共有
\]
满足\(a_i<a_k, a_j>a_k\)的共有
\]
满足\(a_i=a_k or a_j=a_k\)的共有
\]
于是我们暴力统计一遍就可以得到非法数量,进而得出答案。
原问题是可以出现相同大小的数字的,但容易发现它的去重情况与全部不相同并没有什么差异。因而直接按照上述做法即可得出答案。
我们也可以对这个转化的正确性稍作证明。我们将原始序列中的每一个元素 \(x_i\) 映射到一个新元素
\]
容易证明\(x_i,x_j,x_k\)可以构成三角形当且仅当\(y_i,y_j,y_k\)可以构成三角形。因此我们通过构造说明了这个转化的正确性。
笔者菜甚,尝试用前缀和直接求解带重复情况失败,留坑在此。
const int N = 200005;
int T,n,m,x[N],a[N],s[N];
double c[N];
double t[N];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>T;
while(T--) {
cin>>n;
memset(a,0,sizeof a);
memset(x,0,sizeof x);
memset(s,0,sizeof s);
memset(c,0,sizeof c);
memset(t,0,sizeof t);
for(int i=0;i<n;i++) cin>>x[i];
for(int i=0;i<n;i++) m=max(x[i],m);
for(int i=0;i<n;i++) a[x[i]]++;
poly p,q;
p.c.resize(m+1);
for(int i=0;i<=m;i++) p.c[i]=a[i];
q=p;
double ans = 0;
p*=q;
for(int i=0;i<=2*m;i++) c[i]=(p.c[i]);
for(int i=0;i<n;i++) c[x[i]*2]-=1;
for(int i=0;i<=2*m;i++) c[i]/=2.0;
t[0]=c[0];
for(int i=1;i<=2*m;i++) t[i]=t[i-1]+c[i];
for(int i=0;i<n;i++) ans+=(t[2*m]-t[x[i]]);
sort(x,x+n);
for(int i=0;i<n;i++) {
ans -= (long long)(n-i-1)*(long long)(n-i-2)/2 + (long long)(n-i-1)*(long long)i + (n-1);
}
printf("%.7f\n",6.0*(double)ans / ((double)n*(n-1.0)*(n-2.0)));
}
}
[HDU4609] 3-idiots - 多项式乘法,FFT的更多相关文章
- 多项式乘法(FFT)学习笔记
------------------------------------------本文只探讨多项式乘法(FFT)在信息学中的应用如有错误或不明欢迎指出或提问,在此不胜感激 多项式 1.系数表示法 ...
- 【learning】多项式乘法&fft
[吐槽] 以前一直觉得这个东西十分高端完全不会qwq 但是向lyy.yxq.yww.dtz等dalao们学习之后发现这个东西的代码实现其实极其简洁 于是趁着还没有忘记赶紧来写一篇博 (说起来这篇东西的 ...
- 洛谷.3803.[模板]多项式乘法(FFT)
题目链接:洛谷.LOJ. FFT相关:快速傅里叶变换(FFT)详解.FFT总结.从多项式乘法到快速傅里叶变换. 5.4 又看了一遍,这个也不错. 2019.3.7 叕看了一遍,推荐这个. #inclu ...
- @总结 - 1@ 多项式乘法 —— FFT
目录 @0 - 参考资料@ @1 - 一些概念@ @2 - 傅里叶正变换@ @3 - 傅里叶逆变换@ @4 - 迭代实现 FFT@ @5 - 参考代码实现@ @6 - 快速数论变换 NTT@ @7 - ...
- [uoj#34] [洛谷P3803] 多项式乘法(FFT)
新技能--FFT. 可在 \(O(nlogn)\) 时间内完成多项式在系数表达与点值表达之间的转换. 其中最关键的一点便为单位复数根,有神奇的折半性质. 多项式乘法(即为卷积)的常见形式: \[ C_ ...
- UOJ 34 多项式乘法 FFT 模板
这是一道模板题. 给你两个多项式,请输出乘起来后的多项式. 输入格式 第一行两个整数 nn 和 mm,分别表示两个多项式的次数. 第二行 n+1n+1 个整数,表示第一个多项式的 00 到 nn 次项 ...
- [HNOI2017] 礼物 - 多项式乘法FFT
题意:给定两个 \(n\) 元环,环上每个点有权值,分别为 \(x_i, y_i\).定义两个环的差值为 \[\sum_{i=0}^{n-1}{(x_i-y_i)^2}\] 可以旋转其中的一个环,或者 ...
- 【Luogu3808】多项式乘法FFT(FFT)
题目戳我 一道模板题 自己尝试证明了大部分... 剩下的还是没太证出来... 所以就是一个模板放在这里 以后再来补东西吧.... #include<iostream> #include&l ...
- 【模板】多项式乘法(FFT)
题目描述 给定一个n次多项式F(x),和一个m次多项式G(x). 请求出F(x)和G(x)的卷积. 输入输出格式 输入格式: 第一行2个正整数n,m. 接下来一行n+1个数字,从低到高表示F(x)的系 ...
随机推荐
- DotnetCore 单文件发布
NETCORE3.0开始,可以发布单文件,参考https://www.cnblogs.com/ZaraNet/p/11790645.html 发布后(config目录 是手工复制进去的) 运行时, ...
- [MongoDB]MongoDB的ObjectId组成
一.ObjectId的组成首先通过终端命令行,向mongodb的collection中插入一条不带“_id”的记录.然后,通过查询刚插入的数据,发现自动生成了一个objectId“5e4fa350b6 ...
- 安装MYSQL到CentOS(YUM)
运行环境 系统版本:CentOS Linux release 7.3.1611 (Core) 软件版本:MYSQL-5.7 硬件要求:无 安装过程 1.基础配置 [root@localhost ~]# ...
- BSP与HAL关系(转)
板级支持包(BSP)(Board Support Package)是介于主板硬件和操作系统中驱动层程序之间的一层,一般认为它属于操作系统一部分,主要是实现对操作系统的支持,为上层的驱动程序提供访问硬件 ...
- array every
every() 方法测试一个数组内的所有元素是否都能通过某个指定函数的测试.它返回一个布尔值.
- openlayers编辑区域
<!DOCTYPE html> <html> <head> <meta charset="utf-8" /> <title&g ...
- 《操作系统真象还原》MBR
以下是读本书第三章的收获. 如何知道一个源程序的各符号(指令和变量)地址?简单来说,地址就是该符号偏移文件开头的距离,符号的地址是按顺序编排的,所以两个相邻的符号,其地址也是相邻的.对于指令来说,指令 ...
- 0013 基于DRF框架开发(01 基类视图 APIView)
之前学习了模型序列化和普通序列化,我们用最简单的视图和url实现了对序列化的操作. 而实际上,象之前那种由DRF自动生成所有的视图和url的情况,在应用是使用很少.而需要用户根据实际业务需求,自定义视 ...
- vue项目中使用element ui上传图片到七牛
1.获取token值 后台有接口调用直接返回token值 //请求后台拿七牛云token async getQiniuToken() { //token let uploadtoken = await ...
- WeUI基础样式库——写一个移动端界面
WeUI是一套基础样式库,同微信原生视觉体验一致,由微信官方设计团队为微信内网页和微信小程序量身设计的.我们来看看这个基础库样式到底长什么样. 这些密密麻麻的就是压缩后的样式库.密密麻麻地看起来简直要 ...