杜教筛&套路总结

杜教筛

\[\begin{split}
(g*f)(i)&=\sum_{d|i}g(d)f(\frac id)\\
\Rightarrow g(1)S(n)&=\sum_{i=1}^n(g*f)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac ni)
\end{split}
\]

其中，\(S(x)\)为\(f()\)的前缀和。

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套路一：\(\mu\)

由\((1*\mu)=e\)，取\(g(x)=1\)。

\[\begin{split}
S(n)=1-\sum_{i=2}^nS(\frac ni)
\end{split}
\]

可以用线性筛预处理一部分\(\mu\)的前缀和，剩下的用杜教筛记忆化搜索即可。

int Smu(int x){
	if(x<=M)return mu[x];
	if(smu[x])return smu[x];
	int ret=1;
	for(int l=2,r=0;r!=x;l=r+1){
		r=x/(x/l);
		ret-=1ll*(r-l+1)*Smu(x/l);
	}
	return smu[x]=ret;
}

例题

【CQOI2015】选数

【BZOJ3944】Sum

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套路2：\(\varphi\)

由\((1*\varphi)=Id\)，取\(g(x)=1\)。

\[S(n)=\frac {n \cdot (n+1)}2-\sum_{i=2}^nS(\frac ni)
\]

LL Sphi(int x){
	if(x<=M)return phi[x];
	if(sphi[x])return sphi[x];
	LL ret=1ll*x*(1ll*x+1)/2;
	for(int l=2,r=0;r!=x;l=r+1){
		r=x/(x/l);
		ret-=1ll*(r-l+1)*Sphi(x/l);
	}
	return sphi[x]=ret;
}

例题

【BZOJ4805】欧拉函数求和

【BZOJ3944】Sum

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其他题目：

【BZOJ4916】神犇与蒟蒻