【JZOJ3623】【SDOI2014】数表(table) 树状数组+离线+莫比乌斯反演

题面

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\[Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mg(gcd(i,j))
\]

其中，

\[g(d)=\sum_{i|d}i
\]

我们注意到\(gcd(i,j)\)最多有\(O(n)\)种取值，所以我们枚举\(d=gcd(i,j)\)；

就有，

\[Ans=\sum_{d=1}^ng(d)*f(d)
\]

其中，\(f(d)\)表示，有多少对\((i,j)\)的最大公约数为\(d\)，可以使用莫比乌斯反演求出。

那么，

\[Ans=\sum_{d=1}^ng(d)*\sum_{d|i}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{i}\rfloor\mu(\frac{i}{d})
\]

更换主体，

\[Ans=\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{i}\rfloor\sum_{d|i}g(d)*\mu(\frac{i}{d})
\]

令\(h(d)=\sum_{d|i}g(d)*\mu(\frac{i}{d})\)，

对于单个询问而言，如果我们知道\(h\)的前缀和，那么就可以\(O(\sqrt n)\)求出答案。

如果\(a\)一定时，我们可以预处理出\(h\)。

但实际上\(a\)不定。

突破口则是本题允许离线；

我们可以对\(a\)偏序，顺便利用树状数组\(c\)维护\(h\)，具体是：

对于一个\(g(d)<=a\)的，我们给所有\(c[i*d]\)加上一个\(g(d)*\mu(i)\)，然后\(c\)就是当前的\(h\)，

其总的复杂度是\(O(\sum_{i=1}^n\frac{n}{i}*logn)\approx O(nlog^2n)\)。

加上询问，那么最终的复杂度是\(O(Q\sqrt nlogn+nlog^2n)\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fo(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define fd(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
using namespace std;
const char* fin="ex3623.in";
const char* fout="ex3623.out";
const int inf=0x7fffffff;
const int maxn=100007;
const ll mo=1ll<<31;
int t,mu[maxn],wu[maxn],p[maxn],ans[maxn];
int c[maxn],g[maxn];
bool bz[maxn];
void modify(int v,int u){for(;v<maxn;v+=v&-v)c[v]=(0ll+u+c[v])%mo;}
int getsum(int v){
	ll k=0;
	for(;v;v-=v&-v) k+=c[v];
	return k%mo;
}
int getsum(int l,int r){return (getsum(r)-getsum(l-1)+mo)%mo;}
struct query{
	int n,m,a,id;
}q[maxn];
bool cmp(query a,query b){return a.a<b.a;}
bool cmp1(int a,int b){return wu[a]<wu[b];}
int main(){
	freopen(fin,"r",stdin);
	freopen(fout,"w",stdout);
	scanf("%d",&t);
	fo(i,1,t) scanf("%d%d%d",&q[i].n,&q[i].m,&q[i].a),q[i].id=i;
	mu[1]=1;
	wu[1]=1;
	fo(i,2,maxn-1){
		if (!bz[i]){
			p[++p[0]]=i;
			wu[i]=i+1;
			mu[i]=-1;
		}
		fo(j,1,p[0]){
			int k=p[j]*i;
			if (k>=maxn) break;
			bz[k]=true;
			if (i%p[j]==0){
				mu[k]=0;
				wu[k]=wu[i]+p[j]*(wu[i]-wu[i/p[j]]);
				break;
			}else{
				mu[k]=-mu[i];
				wu[k]=p[j]*wu[i]+wu[i];
			}
		}
	}
	fo(i,1,maxn-1) g[i]=i;
	sort(q+1,q+t+1,cmp);
	sort(g+1,g+maxn,cmp1);
	int l=1;
	fo(i,1,t){
		while (l<maxn && wu[g[l]]<=q[i].a){
			for(int k=g[l];k<maxn;k+=g[l]) modify(k,wu[g[l]]*mu[k/g[l]]);
			l++;
		}
		int n=q[i].n,m=q[i].m;
		if (n>m) swap(n,m);
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans[q[i].id]=(ans[q[i].id]+1ll*getsum(l,r)*(n/l)*(m/l))%mo;
		}
	}
	fo(i,1,t) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}