洛谷 P4964 绫小路的特别考试 解题报告

P4964 绫小路的特别考试

题目背景

这世界上「胜利」便是一切。无关乎过程。

要付出多少牺牲都无所谓。只要最后我「胜出」那就行了。

题目描述

一场新的特别考试来临了，这次的考试内容是（wan e de）文化课，但有所不同的是，考试中允许学生使用对讲机。然而，对讲机的接收范围有限（每个对讲机都能发送无限远，但是只能接收到接收范围内的信号），所以，需要周密地安排才能将对讲机的功效发挥到最大。这时，绫小路找到了你，希望你能帮他计算某种方案下的结果。

考试时，共有 \(n\) 名学生坐成一排（从左至右依次编号为 \(1\) ~ \(n\)），绫小路自己坐在第 \(c\) 号位置。每名学生都有一个能力值 \(w_i\)。绫小路已经给每名学生安排了一个接收范围为 \(d_i\) 的对讲机。

每名学生可以直接做出难度不超过自身能力值的所有题目，一旦一名学生凭能力做出某道题，他就会把这道题的做法进行广播。一名坐在位置 \(i\)，有接收范围为 \(d_i\) 的对讲机的学生，可以接收到 \([i-d_i,\ i+d_i]\) 范围内所有学生的广播，若这个范围内有人公布了做法，则他将会做这道题，并也会把这道题的做法进行广播。

绫小路会问你一些问题：当一道题目难度为 \(x\) 时，有多少学生会做这道题？由于绫小路想隐藏实力，他可能会修改自己的能力值。这两种操作分别用以下两种方式表示：

• \(1\ x\)，表示询问当一道题目难度为 \(x\) 时，有多少学生会做这道题。
• \(2\ x\)，将绫小路的能力值修改为 \(x\)，即将 \(w_c\) 修改为 \(x\)。

---

形式化描述（与上文同义）：

给你两个长为 \(n\) 的数列 \(w_{1..n}\) 和 \(d_{1..n}\)，以及一个 \(w_c\) 可修改的位置 \(c\)。现在有两种操作：

• \(1\ x\) 表示一次询问：设 \(f_i=\begin{cases}1\quad(w_i\ge x)\\1\quad(\exists\ i-d_i\le j\le i+d_i,f_j=1)\\ 0\quad(otherwise)\end{cases}\)，这里的 \(f_i\) 定义中引用了 \(f_j\)，$\ \ \ \ $所以 \(f_{1..n}\) 是会不断更新的，直到无法继续更新时，计算这次询问的答案为 \(\sum\limits_{i=1}^nf_i\)。
• \(2\ x\) 表示一次修改：把 \(w_c\) 修改为 \(x\)。

输入输出格式

输入格式

由于数据量太大，为了避免读入耗时过长，使用伪随机数生成器的方式输入，并强制在线。

建议你忽略输入格式，直接使用下面提供的数据生成器模板，了解具体的生成过程对你来说是不必要的。

第一行，三个正整数 \(n,\ m,\ c\)，分别代表学生的总人数，操作总数和绫小路所在的位置。

第二行，五个整数 \(\mathrm{seed},\ \mathrm{mind},\ \mathrm{maxd},\ \mathrm{mfq},\ k\)。

此处的 \(\mathrm{mind},\ \mathrm{maxd}\) 仅用于生成初始的 \(d_{1..n}\)，下文中调整 \(d_p\) 所用的 \(t\) 可能不在 \([\mathrm{mind},\ \mathrm{maxd}]\) 范围内。

接下来的 \(k\) 行，每行两个整数 \(p,\ t\)，表示调整第 \(p\) 号同学的对讲机接收范围（即 \(d_p\)）为 \(t\)。

若一名同学的对讲机接收范围被调整多次，以最后一次为准。

---

** 数据生成器模板：**

#include <cstdio>

unsigned long long seed;
int n, m, c, mfq, mind, maxd, k, w[2000001], d[2000001];

inline int randInt() { seed = 99999989 * seed + 1000000007; return seed >> 33; } 

void generate()
{
	// 在读入种子后生成初始的 w 数组和 d 数组.
    for (int i = 1; i <= n; i++) { w[i] = randInt() % n; }
    for (int i = 1; i <= n; i++) { d[i] = randInt() % (maxd - mind + 1) + mind; }
}

void getOperation(int lastans, int &opt, int &x)
{
    // 生成一次操作的参数 opt 和 x, lastans 表示上一次询问的答案, 初始值为 0.
    if ((0ll + randInt() + lastans) % mfq) { opt = 1; } else { opt = 2; }
    x = (0ll + randInt() + lastans) % n;
}

int main()
{
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &c);
    scanf("%llu %d %d %d %d", &seed, &mind, &maxd, &mfq, &k);
    generate();
    for (int i = 1; i <= k; i++)
    {
        int p, t;
        scanf("%d %d", &p, &t);
        d[p] = t;
    }
    // 从这里开始，你可以使用生成的 w 数组和 d 数组.
    int lastans = 0, finalans = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int opt, x;
        getOperation(lastans, opt, x);
        if (opt == 1)
        {
            // 在这里执行询问操作，并用答案的表达式替代下面的 ___.
            finalans = (finalans * 233ll + ___) % 998244353;
            lastans = ___;
        }
        else
        {
            // 在这里执行修改操作.
        }
    }
    printf("%d\n", finalans);
    return 0;
}

输出格式

令 \(ans_i\) 表示第 \(i\) 次询问（操作 \(1\) ）的答案，\(T_i=\begin{cases}(T_{i-1}\times 233+ans_i)\mod 998244353\quad(i\ge 1)\\0\quad(i=0)\end{cases}\)

设 \(q\) 表示询问（操作 \(1\) ）的个数，你只需要输出一个整数 \(T_q\)。

说明

你需要用到的变量：

\(1\le c\le n\le 2\times 10^6\)，\(1\le m\le 2\times 10^6\)，\(0\le w_i,\ d_i,\ x<n\)。

其它用于生成数据的变量：

\(1\le \mathrm{seed},\ \mathrm{mfq}\le 10^9\)，\(0\le \mathrm{mind}\le \mathrm{maxd}<n\)，\(0\le k\le 2\times 10^5\)，\(1\le p\le n\)，\(0\le t<n\)。

---

思路很简单但是为什么想不出来的一个题目？？

考虑暴力，每个点向可以接收到\(\tt{Ta}\)的点连有向边，这样从每个点出发可以遍历到的点都是\(\tt{Ta}\)可以把答案传出去的点。这样连边是\(O(n^2)\)的

考虑优化连边，发现找离它最近左右的可以连到\(\tt{Ta}\)的点就可以了。

实现的时候拿个栈就可以维护了。

发现修改每次只改一个位置的值，可以特殊处理\(\tt{Ta}\)

预处理出每个询问在路哥传不传答案时的贡献。

可以把元素排序以后从大到小进行\(\tt{dfs}\)，并每次记录被染色的点。

排序可以桶排，计数排序保证复杂度，也可以直接\(\tt{sort}\)，跑的也挺快的。

---

Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
unsigned long long seed;
const int N=2e6+10;
int n,m,c,mfq,mind,maxd,k,d[N],ans[2][N];
struct node
{
    int w,id;
    bool friend operator <(node n1,node n2){return n1.w>n2.w;}
}w[N];
inline int randInt(){seed=99999989*seed+1000000007;return seed>>33;}
void generate()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)w[i].w=randInt()%n,w[i].id=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=randInt()%(maxd-mind+1)+mind;
}
void getOperation(int lastans,int &opt,int &x)
{
    if((0ll+randInt()+lastans)%mfq)opt=1;
    else opt=2;
    x=(0ll+randInt()+lastans)%n;
}
int sum,used[N],wc,ch[N][2],s[N],tot;
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
void dfs(int now)
{
    if(used[now]) return;
    used[now]=1;
    ++sum;
    dfs(ch[now][0]),dfs(ch[now][1]);
}
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(tot&&s[tot]+d[s[tot]]<i) --tot;
        if(tot) ch[i][0]=s[tot];
        s[++tot]=i;
    }
    tot=0;
    for(int i=n;i;i--)
    {
        while(tot&&s[tot]-d[s[tot]]>i) --tot;
        if(tot) ch[i][1]=s[tot];
        s[++tot]=i;
    }
    std::sort(w+1,w+1+n);used[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(w[i].id==c) {wc=w[i].w;continue;}
        dfs(w[i].id);
        ans[0][w[i].w]=sum;
    }
    memset(used,0,sizeof(used));
    used[0]=1,sum=0,dfs(c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dfs(w[i].id);
        ans[1][w[i].w]=sum;
    }
    for(int i=N-10;~i;i--) ans[0][i]=max(ans[0][i],ans[0][i+1]),ans[1][i]=max(ans[1][i],ans[1][i+1]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
    scanf("%llu%d%d%d%d",&seed,&mind,&maxd,&mfq,&k);
    generate();
    for (int p,t,i=1;i<=k;i++) scanf("%d%d",&p,&t),d[p]=t;
    init();
    int lastans=0,finalans=0;
    for(int ___,opt,x,i=1;i<=m;i++)
    {
        getOperation(lastans,opt,x);
        if(opt==1)
        {
            if(wc>=x) ___=ans[1][x];
            else ___=ans[0][x];
            finalans=(finalans*233ll+___)%998244353;
            lastans=___;
        }
        else
            wc=x;
    }
    printf("%d\n",finalans);
    return 0;
}

---

2018.11.7