51nod 1051 最大子矩阵和 【最大子段和DP变形/降维】

【题目】：

一个M*N的矩阵，找到此矩阵的一个子矩阵，并且这个子矩阵的元素的和是最大的，输出这个最大的值。
例如：*3的矩阵：

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-  

和最大的子矩阵是：

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Input
第1行：M和N，中间用空格隔开（ <= M,N <= )。
第2 - N + 1行：矩阵中的元素，每行M个数，中间用空格隔开。(-^ <= M[i] <= ^)
Output
输出和的最大值。如果所有数都是负数，就输出0。
Input示例

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Output示例

【分析】：

在做这道题之前必须会最大子段和这一道题的基础，这也是动态规划中最简单的一道例题，而这道题是最大字段和的一个扩展。

例子： 0,2,7,2,-5最大的一个连续子序列之和。

分析：这五个数有这样几种和的组合：0；02；027；0272；……这样5！个数。

用数组索引来表示就是：0；0到1；0到2；0到3……1；1到2；……（这里是数组索引表示）

我们显然不能用多重循环把所有数都算出来，我们换一种角度思考，如果只有一个数字，那么最大的连续子序列数多少，还是以上面的例子为例，应该是0吧，那么现在有两个数字呢？有两种情况，一种是前面有一个数字的最大值（已求）+现在这个数字；另外一种情况是就是只有这个数字；然后算出来的最大值与只有一个数字的情况的最大值相比较；现在有三个数字，也有两种情况，一种是前面有前面两个数字的最大值+现在这个数字；或者就是只是这个数字；……

第一行：N代表这个N*N矩阵的维数

int max_sum(int n)
{
         int i, sum = 0, max = INT_MIN;
         for(i = 0; i < n; i++)
         {  -------------------------------------------------------------------------------0
                if(sum < 0)
                        sum = 0;
                sum += a[i];      ---------------------------------------------------------1
                if(sum > max)
                        max = sum;---------------------------------------------------------2
         }
         return max;
}

　　

----0----代表蓝色部分【这个不用说循环】

----1----代表橙色部分【**下面说**】

----2----代表紫色部分

我们橙色的字；因为一共有两种情况，一种是自己本身，一种是前i-1项的最大值，我们换个思路想一下，假如第1个数（索引为0的数）为负数，那么下面前两个数的最大最一定是第二个数其本身，即第二次是把sum=0；sum+=a[1]  然后记录max值。。。实际上就是假如你前n个数是正的那么可以继续加上去，如果你前n个数是负的那么把值记录一下就好了。所以只要求前n项和和最大值就好了。

当然也有人是这样写的：

int MaxSum(int n,int *a)
{
    int sum=0,b=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(b>0)
        {
            b+=a[i];
        }
        else
        {
            b=a[i];
        }
        if(b>sum)
        {
            sum = b;
        }
    }
    return sum;
}

　　

或者更加直白的话是这样写的，这样更加容易理解一些，看个人的编程习惯了：

int max_sum2(int n)
{
     b[0]=a[0];    //数组b存放前n项的最大值
     int maximal=b[0];
     for(int i=1;i<n;i++)
     {
           b[i]=max(b[i-1]+a[i],a[i]); //STL
           if(b[i]>maximal)
                maximal=b[i];
     }
     return maximal;
}

　　下面写二维的矩阵这道题，我们首先要做的就是降维然后像上面一样做。

先写一下思路，为什么说是最大字段和的扩展。

我们原来是一行，如果算到两行的。。。现在我们下面一行跟着上面一行一起动，再求和。即如果这个矩阵只有两行，我们先求第一行的最大值（最大字段和），然后让第二行跟着第一行一起动【其实就是把两行看成一行】，求出两行的最大值。。。以此类推。

 

我们知道一维时候的最大字段和，要有sum【前n个数之和】和最大值这两个变量，我们这里的sum怎么求呢？ sum[i][j]从表示第i行第j个元素变成表示第i行前j个元素和，这样sum[k][j]-sum[k][i]就可以表示第k行从i->j列的元素和。

 

---

科幻小说《三体》中描绘了恢弘壮丽的“降维攻击”的场景： 
“歌者”随手抛下了一张“二向箔”，整个银河系的三维空间奔腾汹涌地流入二向箔，塌缩成一个二维平面，三维结构被碾压在二维平面之上。同时，这一降维过程是全息的，所有的三维信息被保留在碾压后的二维空间里。这种致命的攻击令攻击者和被攻击者同归于尽，玉石俱焚，其结局黑暗得令人窒息。

我们知道，在线性空间的最大子段和，已有线性时间的DP算法。有没有可能，把二维的最大矩阵和转化为一维的最大子段和呢？

答案是肯定的，算法有着似三体描述的未来武器般的威力

对于一个子矩阵，有四个属性：起始行位置 i , 结束行位置 j, 起始列 x, 结束列 y

我们可以枚举i， j， 然后对后列进行降维压缩

再对降维后的一维数组进行最大子序列和动态规划就行了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<stack>
#define maxn 505
#define maxm 50005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;

int n,m;
int a;
int dp[maxn][maxn];
//int sum[maxn][maxn];

int main()
{
    while(cin>>m>>n)
    {
        memset(dp,,sizeof(dp));
        for(int i=;i<=n;i++){
            for(int j=;j<=m;j++){
                scanf("%d",&a);
                dp[i][j]=dp[i-][j]+a;////让dp存放第i行的前j项和
            //其实我们用数学之美来看为什么要这样存放，你一维的时候存放的是一维的数据
            //二维的时候再存放一维的数据就是错误的，二维的时候就应该存放二维的数据
            //当然你也不要去存放前i行前j列之和，这个相比于前面的就是三维的数据了
            //如果你算的是长方体的数据，这样应该是对的，那么我们的数组也应该是三维的了
            }
        }
        //s数组是用来记录起点行到终点行的每一竖条的数值和的，ans是用来记录不同的子矩阵和的（需要相邻竖条相加），
        int ans=;
        for(int i=;i<=n;i++){//这n行数有这样几种和的组合：0；02；027；0272；……这样n！个数。
            //用数组索引来表示就是：0；0到1；0到2；0到3……1；1到2；……（这里是数组索引表示）
            for(int j=i;j<=n;j++){//前面两层循环是列循环，比如三列的话就是，1-2列，1-3列，2-3列
                int sum=;
                for(int k=;k<=m;k++){
                    sum+=(dp[j][k]-dp[i-][k]);//对i到j行矩阵进行降维操作
                    if(sum<) sum=;
                    if(sum>ans) ans=sum;
                    //ans=max(ans,sum);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return ;
}

注意行列n，m输入顺序