Codeforces 825F - String Compression

825F - String Compression

题意

给出一个字符串，你要把它尽量压缩成一个短的字符串，比如一个字符串ababab你可以转化成3ab，长度为 3，比如bbbacacb转化成3b2ac1b，长度为 7，aaaaaaaaaa转化为10a，长度为 3。

分析

求转换后的最短字符串，那么怎么去组合字符串中的子串是关键。

考虑 dp，dp[1...L] 对应字符串 S[0...L-1] 。dp[i] 表示字符串 S[0, i - 1] 转化后的字符串长度，dp[0] = 0。

状态转移方程：$ dp[i] = min(dp[i], dp[j] + has[j][i - 1]) $，其中 \(has[j][i - 1]\) 表示字符串 S[j, i - 1] 由某个字符（串）重复 k 次，k 取最大的时候，转化后的长度。比如abab，ab重复了两次，那么 \(has\) 的值为 3。

那么我们就要去预处理 has 的值，一个字符串（长度为 L）由 k 个连续且相同的子串组成，求 k 的最大值。这个问题不就是某个经典的字符串题吗？戳

当然不用后缀数组那么麻烦，那只是为了练习 : ) 。

考虑 KMP 算法中 nxt 数组的含义，对于字符串abcabc，那么 \(nxt[6] = 3\)，即前缀后缀相同的子串长，我们称最小连续的那个子串为循环节，设 \(l = L - nxt[L]\)，如果 \(l\) 刚好整除 \(L\)，那么 \(l\) 就是循环节的长度。对于字符串ababab， \(nxt[6]=4\) ，假如后面还有字符，第 7 个字符导致失配，最后的四个字符abab不用再去匹配了，直接由abab向后匹配，正好是右移了一个循环节的位置。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 8000 + 10;
const int INF = 1e9;
char T[MAXN];
int nxt[MAXN];
void getNext() {
    int tlen = strlen(T);
    int j, k;
    j = 0;
    k = -1;
    nxt[0] = -1;
    while(j < tlen)
        if(k == -1 || T[j] == T[k])
            nxt[++j] = ++k;
        else
            k = nxt[k];
}
int getl(int x) {
    int cnt = 0;
    while(x) {
        cnt++;
        x /= 10;
    }
    return cnt;
}
char S[MAXN];
int dp[MAXN];
int has[MAXN][MAXN];
int main() {
    scanf("%s", S);
    int L = strlen(S);
    for(int i = 0; i < L; i++) {
        has[i][i] = 2;
        int l = 0;
        for(int j = i; j < L; j++) {
            T[l++] = S[j];
        }
        T[l] = 0;
        getNext();
        l = 0;
        for(int j = i + 1; j < L; j++) {
            l++;
            int k = j - i + 1;
            int p = k - nxt[l + 1];
            if(k % p == 0) {
                has[i][j] = getl(k / p) + p;
            } else has[i][j] = j - i + 2;
        }
    }
    dp[0] = 0; // dp[1..L] 对应字符串 S[0..L-1]
    for(int i = 1; i <= L; i++) {
        dp[i] = i + 1;
        for(int j = 0; j < i; j++) {
            // [j + 1, i] 对应字符串的 [j, i - 1]
            dp[i] = min(dp[i], dp[j] + has[j][i - 1]);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[L]);
    return 0;
}