强联通分量之kosaraju算法
首先定义:强联通分量是有向图G=(V, E)的最大结点集合,满足该集合中的任意一对结点v和u,路径vu和uv同时存在。
kosaraju算法用来寻找强联通分量。对于图G,它首先随便找个结点dfs,求出每个节点最后一次访问的时间戳f(x),然后我们建立反图Gt,接着根据倒序的结束时间戳来dfs每个节点,每次dfs到的结点集合就是一个强联通分量。事实上这个算法的思想和拓扑排序类似。
我们来证明它(注意这里面的图指原图,而不是反图):
引理:对于G中的两个强联通分量C和C’,若点u属于C,点v属于C',且存在边(u,v),那么f(C)> f(C')。
证明应该很好想。。如果先访问C,那么一定会先访问完C'再访问C。如果先访问C’,因为强联通分量的性质,C一定不在C’的深度优先搜索树中。
推论:对于G中的两个强联通分量C和C’,若点u属于C,点v属于C',如果f(C)< f(C'),那么不可能存在边(u,v)
因为若有边(u,v),访问C一定会访问到C',然后C'先退出。如果先访问C',f(C)> f(C')。
证明:若根据倒序的时间戳dfs结点,那么最后一个结点一定属于最后一个结束访问的强联通分量C'(因为C’被访问到的次序就是由最后一个结点的时间戳决定的),也就是f(C')>f(任意一个C)。根据推论,在原图中不可能存在边,从其它强联通分量连向它。也就是对于反图来说,从当前结点dfs只会dfs到最后一个结束访问的强连通分量。接着,倒序找到第二个没有被访问过的点,它属于倒数第二个结束访问的强联通分量,并且按原图来看,只可能有前面访问过的强联通分量向它连边,所以它只能访问自己所属的强联通分量。以此类推,可以证明算法的正确性。
这个证明的重点在于:倒序来看,最先没有访问过的点属于新的待处理强联通分量。
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