[bzoj2301][HAOI2011]Problem B —— 莫比乌斯反演+容斥原理

题意

给定a, b, c, d, k，求出：

\[\sum_{i=a}^b\sum_{j=c}^d[gcd(i, j) = k]
\]

题解

为方便表述，我们设

\[calc(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{\alpha}\sum_{j=1}^{\beta}[gcd(i, j) = k]
\]

令\(A = \{ (x, y) | x < a\}\), \(B = \{(x, y)|y < c\}\)，

根据容斥原理，

\[|S| = |U| - |A| - |B| + |A \cap B|
\]

所以，原式就是：

\[calc(b, d) - calc(a-1 ,d) - calc(b, c-1) + calc(a-1, c-1)
\]

这样我们就把一个询问拆分成了四个询问，即，问题就转换成了计算\(calc(\alpha, \beta)\)

令

\[f(x) = \sum_{i=1}^b\sum_{j=1}^d[gcd(i, j) = x]
\]

显然，f(x)并不方便计算，但是如果我们设

\[F(x) = \sum_{i=1}^b\sum_{j=1}^d[gcd(i, j) = \lambda， x|\lambda]
\]

我们可以得出F(x)与f(x)的关系，

\[F(x) = \sum_{x|d} f(d)
\]

F(x)就相对好计算的多，我们很容易有：

\[F(x) =\lfloor \frac{b}{i}\rfloor \lfloor\frac{d}{i} \rfloor
\]

但是这一点对于我这种蒟蒻来说并不显然，所以这里给出一个证明。

同样地，令\(\lambda = gcd(i, j)\)，如果\(x|\lambda\)，那么我们可以得出：

1.\(x|i\)

2.\(x|j\)

反过来证明必要性：

如果\(x|i \&\& x|j\)，那么x一定是i和j的公约数，所以一定有

\(x \leq \lambda\)

又因为x和\(\lambda\)都是公约数，所以\(x|\lambda\)，所以必要性得证。

所以x是i和j的公约数是数对(i, j)可以对F(x)的充分必要条件。

我们使用分步原理，首先在[1,n]中寻找x的倍数个数，然后在[1,m]里找，乘起来就可以了。

然后，根据mobius反演（《具体数学》P113 4.9 \(\phi\)函数与\(\mu\)函数）：

\[f(x) =\sum_{d|x} \mu(d) F(\frac{x}{d})
\]

但是这种反演形式并不适合解此题，我们采取另外一种形式：

\[f(x) = \sum_{x|d} \mu(\frac{d}{x}) F(d) = \sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x}) \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \lfloor \frac{m}{d} \rfloor
\]

由于枚举倍数显然只需要枚举到min(n, m)，所以复杂度为\(\Theta(n+m)\)

根据神犇的课件。

观察式子，我们发现：

\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)的取值最多有\(2 \sqrt n\)种（约数的个数），所以如果我们枚举\(\lfloor \frac{n/m}{d} \rfloor\)的取值，只需要枚举\(2(\sqrt n + \sqrt m)\)即可，复杂度就成了\(\Theta (\sqrt n + \sqrt m)\)

对于同一个取值，\(\mu\)函数是不同的，但是属于一个区间，我们可以统一求和，维护一个前缀和即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 50005;
int T, a, b, c, d, k;
int mu[maxn+5], sumu[maxn+5], prime[maxn+5], check[maxn+5];
int tot = 0;
void get_mu() {
    memset(check, 0, sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= maxn; i++) {
        if(!check[i]) {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j++) {
            if(i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            } else {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

void init() {
    get_mu();
    for(int i = 1; i <= maxn; i++) sumu[i] = sumu[i-1] + mu[i];
}    

int calc(int n, int m) {
    n/=k;
    m/=k;
    int ret = 0;
    int last;
    if(n > m) swap(n, m);
    for(int i = 1; i <= n; i = last + 1) {
        last = min(n / (n/i), m / (m/i));
        ret += (n / i) * (m / i) * (sumu[last] - sumu[i-1]);
    }
    return ret;
}
int main() {
    init();
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d %d %d %d %d", &a, &b, &c, &d, &k);
        int ans = calc(b, d) - calc(a-1, d) - calc(b, c-1) + calc(a-1, c-1);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

觉得自己好蠢。。。