[HNOI2002] 公交车路线

题目背景

在长沙城新建的环城公路上一共有8个公交站，分别为A、B、C、D、E、F、G、H。公共汽车只能够在相邻的两个公交站之间运行，因此你从某一个公交站到另外一个公交站往往要换几次车，例如从公交站A到公交站D，你就至少需要换3次车。

Tiger的方向感极其糟糕，我们知道从公交站A到公交E只需要换4次车就可以到达，可是tiger却总共换了n次车，注意tiger一旦到达公交站E，他不会愚蠢到再去换车。现在希望你计算一下tiger有多少种可能的乘车方案。

题目描述

输入输出格式

输入格式：

仅有一个正整数n(4<=n<=10000000)，表示tiger从公交车站A到公交车站E共换了n次车。

输出格式：

仅有一个正整数，由于方案数很大，请输出方案数除以 1000后的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

6

输出样例#1：

8

说明

8条路线分别是：

(A→B→C→D→C→D→E)，(A→B→C→B→C→D→E)，

(A→B→A→B→C→D→E)，(A→H→A→B→C→D→E)，

(A→H→G→F→G→F→E)，(A→H→G→H→G→F→E)，

(A→H→A→H→G→F→E)，(A→B→A→H→G→F→E)。

题解：

看到数据范围n<=10000000。想到肯定要O(n)才能过。

O(n）算法复杂度+一个输入输出，肯定就是递推啦

可是递推公式？？

暴力算前几个答案是

4　　5　　6　　7　　8　　9　　10　　11　　12　　13　　14

2　　0　　8　　0　　28    0　　96　　0　　328　　0　　1120

发现当n为奇数时，ans=0；

开始想递推式

设f[i]=x*f[i-1]+y;           解出答案后代入后面是不成立的

设f[i]=x*f[i-1]+y*f[i-2]+z;

28=8x+2y+z;  96=28x+8y+z;    328=96x+28y+z;

解得 x=4;y=-2;z=0;带入后面也是成立的

于是，递推式就出来了，f[i]=4*f[i-1]-2*f[i-2];

一个非常坑的地方：由于答案%1000后f[i-2]有可能大于f[i-1]

所以极端情况下，f[i-2]=999,f[i-1]=0;所以如代码所示，还要+2000后再%1000

#include<iostream>
using namespace std;
int f[];
int main()
{
int n;cin>>n;
if(n&)cout<<;
else
{
f[]=;f[]=;
for(int i=;i<=n;i+=)f[i]=(*f[i-]-*f[i-]+)%;
cout<<f[n];
}
return ;
}

代码居然才写了15行。。。这是省选题啊

那如果加强这个数据，变为有T组数据,每组数据的n变为4<=n<=10^18怎么做呢

那我们可以用矩阵快速幂优化到O(Tlog(n))

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int mod=;
struct data{
int d[][];
}a,b,c;
data mul(data a,data b)
{
memset(c.d,,sizeof(c.d));
for(int i=;i<=;i++)
for(int j=;j<=;j++)
for(int k=;k<=;k++)
{
c.d[i][j]=(c.d[i][j]+a.d[i][k]*b.d[k][j])%mod;
}
return c;
}
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
long long n;scanf("%lld",&n);
if(n&)printf("0\n");
else
{
b.d[][]=;b.d[][]=;b.d[][]=-+mod;b.d[][]=;
a.d[][]=;a.d[][]=;a.d[][]=;a.d[][]=;
n=(n-)/;
while(n)
{
if(n&)a=mul(a,b);
b=mul(b,b);n>>=;
}
printf("%d\n",(a.d[][]*+a.d[][]*)%mod);
}
}
return ;
}