[BZOJ4064/Cerc2012]The Dragon and the knights

Description

与当地鞋匠协会发生冲突的瓦维尔城堡的龙决定将它的狩猎场移出克拉科夫以减少敌对的邻居数量。现在他正在给和平而宁静的Bytes王国带来灾难与恐怖。

在Bytes王国有n条河流，每一条河流都是一条直线（你可以认为Bytes王国就像是欧几里得平面上被一些直线划分的一些区域），不存在三条河流共用同一个点，河流们将王国划分成了一些区域。

幸运的是，现在王国里有m个勇士。每个勇士都发誓要保护其所在的区域。王国也许就因此受到了长远持久的保护？

我们所知道的只有龙不会攻击存在至少一个勇士的区域。勇士们因为他们的勇气被人所熟知，然而他们的智力却低的可怕，他们不会离开自己所在的区域，只会保护所在的区域。

给出一个王国的地图，和勇士的坐标，请你计算是否所有的区域都被保护到了。

Input

第一行一个正整数T，表示有T组数据。

每组数据第一行两个正整数n和m，表示有n条河流，m个勇士，\(1\leqslant n\leqslant 100,1\leqslant m\leqslant50000\)。

接下来n行，第j行三个整数\(A_j, B_j, C_j\)，表示第j个河流的直线方程是\(A_j * x + B_j * y + C_j = 0\)，三个数字的绝对值都不超过10000。

接下来m行，第i行两个整数\(X_i, Y_i\)，表示第i个勇士的坐标是\((X_i, Y_i)\)，\(-10^9\leqslant X_i, Y_i\leqslant10^9\)。

你可以认为没有一个勇士站在河流上（如果他这么做他的铠甲会很快生锈呢）。两个勇士的坐标可能相同。不存在两条河流是重合的直线，不存在三条河流共用同一个点。

Output

对于每组数据输出一行，如果每个区域都可以被保护，输出"PROTECTED"，否则输出"VULNERABLE"。（不含引号）

Sample Input

2

3 7

0 1 0

1 0 0

1 1 -3

1 1

5 -1

3 2

2 -2

-2 6

-1 -2

-8 4

1 1

0 1 0

0 1

Sample Output

PROTECTED

VULNERABLE

---

乱搞……

首先求出直线将平面分成多少个区域，对于一条直线，若它和之前\(x\)条直线相交，则平面会多划分出\(x+1\)个区域（注意初始区域数目为1）

然后我们只需要求出骑士们所在的区域个数是否等于分出的区域个数即可

如何判？

考虑将骑士与\((0,0)\)连线，不同的区域所交的直线编号必定不同，hash判重即可

如果有直线经过\((0,0)\)怎么办？我们在平面中随机找一个不被任何直线经过的点，与所有骑士连线即可

注意存在\(0x+0y=0\)的直线，不用特判，直接做即可（应该不论如何都会输出"VULNERABLE"）

然后还要记得，直线判交是判断斜率是否相等，判断斜率使用交叉相乘，不要用\(A_1\)\(A_2\)&&\(B_1\)\(B_2\)，x+y=0和2x=2y=1斜率相同……

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define Fi first
#define Se second
#define MK make_pair
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<long double,long double> pdd;
inline char gc(){
	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
	int x=0,f=1; char ch=gc();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline int read(){
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x<0)	putchar('-'),x=-x;
	if (x>9)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e2,M=5e4,V=1e9;
const ld eps=1e-8;
const int limit=254753,Mod=379541;
struct S1{
	ll A,B,C;
	S1(){A=B=C=0;}
	S1(ll _A,ll _B,ll _C){A=_A,B=_B,C=_C;}
	void rd(){A=read(),B=read(),C=read();}
	bool ck(int x,int y){return 1ll*A*x+1ll*B*y+C==0;}
}Line[N+10];
ui g[N+10],f[N+10];
struct S2{
	int pre[M+10],now[Mod+10];
	int stack[Mod+10],top,tot;
	ui child[M+10];
	void insert(int x,ui y){pre[++tot]=now[x],now[x]=tot,child[tot]=y;}
	void insert(ui x){insert(stack[++top]=x%Mod,x);}
	bool find(ui x){
		int Now=x%Mod;
		for (int p=now[Now];p;p=pre[p])
			if (child[p]==x)	return 1;
		return 0;
	}
	void clear(){
		for (int i=1;i<=top;i++)	now[stack[i]]=0;
		top=0;
	}
}Hash;
bool ck(const S1 &x,const S1 &y){return 1ll*x.A*y.B==1ll*x.B*y.A;}
bool G(int l,int r,ld x){
	if (l>r)	swap(l,r);
	if ((l<x||fabs(x-l)<=eps)&&(x<r||fabs(x-r)<=eps))	return 1;
	return 0;
}
pdd get(const S1 &a,const S1 &b){
	ld x=(1.0*a.B*b.C-1.0*b.B*a.C)/(1.0*b.B*a.A-1.0*a.B*b.A);
	ld y=(1.0*a.A*b.C-1.0*b.A*a.C)/(1.0*b.A*a.B-1.0*a.A*b.B);
	return MK(x,y);
}
int main(){
	srand(time(0)); g[0]=1;
	for (int i=1;i<=N;i++)	g[i]=g[i-1]*limit;
	for (int T=read();T;T--){
		Hash.clear();
		int n=read(),m=read(),cnt=1,num=0;
		for (int i=1;i<=n;i++){
			Line[i].rd(),cnt++;
			for (int j=1;j<i;j++)	if (!ck(Line[i],Line[j]))	cnt++;
		}
		int Zx,Zy;
		while (true){
			Zx=1ll*rand()*rand()%V;
			Zy=1ll*rand()*rand()%V;
			bool flag=1;
			for (int i=1;i<=n;i++){
				if (Line[i].ck(Zx,Zy)){
					flag=0;
					break;
				}
			}
			if (flag)	break;
		}
		for (int i=1;i<=m;i++){
			int x=read(),y=read(); ui z=0;
			S1 tmp(y-Zy,Zx-x,1ll*x*Zy-1ll*Zx*y);
			for (int j=1;j<=n;j++){
				pdd res=get(tmp,Line[j]);
				if (G(x,Zx,res.Fi)&&G(y,Zy,res.Se))	z+=g[j];
			}
			if (Hash.find(z))	continue;
			num++,Hash.insert(z);
		}
		printf(cnt==num?"PROTECTED\n":"VULNERABLE\n");
	}
	return 0;
}