[ Luogu 1273 ] 有线电视网

\(\\\)

\(Description\)

---

一棵\(N\)个节点的树，编号在\([N-M+1,N]\)内的点必定为叶子节点，且这些点都有一个收益值\(Val_i\)，同时每一条树边都有一个代价。

访问叶节点必须从\(1\)号点出发，经过所有必须的树边到达，每条树边的代价只计算一次。

求在总收益\(-\)总代价不为负的前提下，最多能到达多少个节点。

• \(N,K\in [1,3\times10^3]\)

\(\\\)

\(Solution\)

---

树形背包。设\(f[i][j]\)表示当前在\(i\)号节点，覆盖其子树内的\(j\)个节点的最大利润。

在背包的时候注意维护的\(size_i\)不再是子树大小，而是子树内有多少个编号在\([N-M+1,N]\)范围内的点。

转移为\(f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]-e[i].w)\ \big|\ j\in[0,size_u],k\in[0,size_v]\)。

初始化\(f[i][0]=0,f[i][j|j\not=0]=-inf\)。边界为\(f\bigg[i\ \big|\ i\in [N-M+1,N]\bigg]\bigg[1\bigg]=Val_i\)。

然后答案就是最大的\(i\)满足\(f[1][i]\ge 0\)。

\(\\\)

\(Code\)

---

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 3010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

int n,m,tot,sz[N],hd[N],val[N],f[N][N];

struct edge{int w,to,nxt;}e[N];

inline void add(int u,int v,int w){
  e[++tot].to=v; e[tot].w=w;
  e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;
}

void dfs(int u,int fa){
  if(u>n-m){sz[u]=1;return;}
  for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
    if((v=e[i].to)!=fa){
      dfs(v,u); sz[u]+=sz[v];
      for(R int j=sz[u];j;--j)
        for(R int k=sz[v];k;--k)
          f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]-e[i].w);
    }
}

int main(){
  n=rd(); m=rd();
  for(R int i=1,x;i<=n-m;++i){
    x=rd();
    for(R int j=1,v,w;j<=x;++j){v=rd();w=rd();add(i,v,w);}
  }
  for(R int i=1;i<=m;++i) val[i]=rd();
  memset(f,0xcf,sizeof(f));
  for(R int i=1;i<=n;++i) f[i][0]=0;
  for(R int i=1;i<=m;++i) f[i+n-m][1]=val[i];
  dfs(1,0);
  for(R int i=m;i;--i)
    if(f[1][i]>=0){printf("%d",i);return 0;}
  return 0;
}