luogu2261 [CQOI2007]余数求和

除法分块。

猜想： 记 \(g(x)=\lfloor k / \lfloor k / x\rfloor \rfloor\)，则对于 \(i \in [x,g(x)]\)，\(\lfloor k / i \rfloor\) 都相等。

证明： 显然函数 \(y=k/x\) 单调递减。显然 \(\lfloor k/x \rfloor \leq k/x\)。则：

1. \(g(x)=\lfloor k / \lfloor k / x\rfloor \rfloor \geq \lfloor k/(k/x) \rfloor=x \Rightarrow \lfloor k/g(x) \rfloor \leq \lfloor k/x \rfloor\);
2. \(\lfloor k/g(x) \rfloor=\lfloor k/\lfloor k / \lfloor k / x\rfloor \rfloor \rfloor \geq \lfloor k/( k / \lfloor k / x\rfloor ) \rfloor=\lfloor k/x \rfloor\)。

于是 \(\lfloor k/g(x) \rfloor=\lfloor k/x \rfloor\)。则显然对于 \(i \in [x,g(x)]\)，\(\lfloor k / i \rfloor\) 都相等。我们还可以知道 \(\lfloor k/(g(x)+1) \rfloor < \lfloor k/g(x) \rfloor=\lfloor k/x \rfloor\)。

回到问题，\(ans=\sum_{i=1}^n k \bmod i=nk-\sum_{i=1}^{\min(n,k)} \lfloor k/i \rfloor \times i\)，当 \(\lfloor k/i \rfloor\) 相等时对 \(i\) 用等差数列求和就好了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, k, lst, end;
ll ans=0;
int main(){
	cin>>n>>k;
	for(int i=1; i<=min(k,n); i=end+1){
		lst = k / i;
		end = min(n, k / lst);
		ans += (ll)lst * (end+i) * (end-i+1) / 2;
	}
	cout<<(ll)n*k-ans<<endl;
	return 0;
}