leetcode || 50、Pow(x, n)

problem：

Implement pow(x, n).

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Math Binary
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题意：求x的n次幂

thinking：

（1）最简单想到的是直观上的数学幂函数求法，測试通过。算法时间复杂度为O（n）

（2）依照标签提示，使用二分搜索法。

pow(x,n) = pow(x,n-n/2)*pow(x,n/2),每次对n的规模缩半,注意对n的奇偶进行讨论,算法时间复杂度为log（n）

（3）除了上述方法，这里还提到了一种十分巧妙而且高速的方法，原文描写叙述例如以下：



Consider the binary representation of n. For example, if it is "10001011", then x^n = x^(1+2+8+128) = x^1 * x^2 * x^8 * x^128. Thus, we don't want to loop n times to calculate x^n. To speed up, we loop through each bit, if the i-th bit is 1, then we add x^(1
<< i) to the result. Since (1 << i) is a power of 2, x^(1<<(i+1)) = square(x^(1<<i)). The loop executes for a maximum of log(n) times.



该方法通过扫描n的二进制表示形式里不同位置上的1，来计算x的幂次，最坏为O（n），但平均复杂度非常好

code：

（1）递归法：accepted

class Solution {
public:
    double pow(double x, int n) {
        double ret=1.0;
        if(x==1.0 )
            return 1.0;
        if(x==-1.0)
        {
            if(n%2==0)
                return 1.0;
            else
                return -1.0;
        }
        if(n<0)
            return 1.0/pow(x,-n);
        while(n)
        {
            if(ret==0) //防止执行超时
                return 0;
            ret*=x;
            n--;
        }
        return ret;
    }
};

（2）二分法：accepted

class Solution {
public:
    double pow(double x, int n) {
        //double ret=1.0;
        if(x==1.0 )
            return 1.0;
        if(x==-1.0)
        {
            if(n%2==0)
                return 1.0;
            else
                return -1.0;
        }
        if(n==0)
            return 1.0;
        if(n<0)
            return 1.0/pow(x,-n);
        double half=pow(x,n>>1);
        if(n%2==0)
            return half*half;
        else
            return x*half*half;
    }
};

（3）

为了正确计算x的n次幂，还须要考虑到下面一些情况：

1) x取值为0时。0的正数次幂是1，而负数次幂是没有意义的；推断x是否等于0不能直接用“==”。

2) 对于n取值INT_MIN时。-n并非INT_MAX。这时须要格外小心。

3) 尽量使用移位运算来取代除法运算，加快算法运行的速度。

class Solution {
public:
    double pow(double x, int n) {
        // Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        if(n<0)
		{
			if(n==INT_MIN)
				return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x);
			else
				return 1.0 / pow(x,-n);
		}
        if(n==0)
            return 1.0;
		double ans = 1.0 ;
		for(;n>0; x *= x, n>>=1)
		{
			if(n&1>0)
				ans *= x;
		}
		return ans;
    }
};