卷积、卷积矩阵（Convolution matrix）与核（Kernel）

• 在图像处理领域，Kernel = convolution matrix = mask，它们一般都为一个较小的矩阵；
• 用于：Sharpen，Blur， Edge enhance，Edge detect，Emboss（使凸出；在……上作浮雕图案；装饰）

1. 卷积操作与卷积矩阵的等价性

• （1）创建一维信号

  N = 100;
  s = zeros(N, 1);
  k = [20, 45, 70];
  a = [2, -1, 1];
  s(k) = a;

• （2）创建卷积核

  L = 4;
  h = ones(L, 1)/L;

• （3）使用 matlab 创建 convolution matrix

  首先考虑，卷积矩阵的 size，卷积操作conv(h, s) 返回的响应其长度为 L+N-1, 因此：

  M = N+L-1;
  H = sparse(M, N);
  e = ones(N, 1)
  for i = 0:L-1,
      H = H + spdiags(e*h(i+1), -i, M, N);
  end

• （4）验证二者操作的等价性：

  err = H*s - conv(h, s);
  max_err = max(abs(err));

2. spy：可视化稀疏矩阵的形式

而不是简单地将稀疏矩阵以一个矩阵的形式显示，显然是因为其规模十分之大，且较为稀疏，不易直观观察。

Kernel (image processing)

8.2. Convolution Matrix