luogu P3773 [CTSC2017]吉夫特

luogu

这里的组合数显然要用\(\text{lucas}\)定理来求,所以考虑\(\text{lucas}\)定理的本质,即把\(n,m\)分别拆分成\(p\)进制串\(\{a\}\{b\}\),然后\(\binom{n}{m}\mod p=\prod_i \binom{a_i}{b_i}\mod p\)

这题里\(p=2\),那么最后的\(\binom{n}{m}\)要为\(1\),当且仅当\(m\)的二进制串每一位\(\le n\)二进制串的对应位,这相当于\(n\ \&\)(按位与)\(\ m=m\),这是因为\(\prod_i \binom{a_i}{b_i}\)中,所有\(\binom{a_i}{b_i}\)都要是\(1\),那么如果\(\exists i\ a_i=0,b_i=1\),就会导致\(\binom{a_i}{b_i}=\binom{0}{1}=0\),那么最终的值就是\(0\),所以\(m\)二进制每一位都要\(\le n\)的每一位.要求的实际上是长度\(\ge2\)的子序列\(\{s_1,s_2...s_k\}\),满足\(\forall i\in[1,k-1] s_i\&s_{i+1}=s_{i+1}\),所以可以倒着扫一遍序列,然后对于当前数记\(f_x\)为子序列最后一项的值为\(x\)的方案,转移枚举\(x\)的子集转移

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define uLL unsigned long long
#define db long double

using namespace std;
const int N=270000+10,mod=1000000007;
int rd()
{
	int x=0,w=1;char ch=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*w;
}
int n,a[N],f[N],ans;
void ad(int &x,int y){x+=y,x-=x>=mod?mod:0;}

int main()
{
	n=rd();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=rd();
	for(int i=n;i;--i)
	{
		for(int j=a[i];j;j=(j-1)&a[i]) ad(f[a[i]],f[j]);
		ad(ans,f[a[i]]);
		ad(f[a[i]],1);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}