[hdu5312]数的拆分，数学推导

题意：给定一个序列，a[n]=3n(n-1)+1，n>=1，求给定的m(m<=1e9)最少可以用几个a里面的数表示（可以重复）

思路：对答案分类

（1）假定答案为1，则m必定是a中的某一个数，直接查找即可，复杂度O(logn)

（2）假定答案为2，则m必定可以拆分成两个a中的数之和，用两指针分别从头和尾向中间扫，判断是否可以构成m，复杂度O(n)

（3）假定答案大于等于3，设答案为k，即k>=3，则必有m=a[i₁]+a[i₂]+...+a[i_k]，由于a[i]=3i(i-1)+1=6[i(i-1)/2]+1，所以有：

 m=6[i₁(i₁-1)/2+i₂(i₂-1)/2+...+i_k(i_k-1)/2]+k                        

所以(m-k)%6==0恒成立，也就是说如果得出了答案k，那么答案一定满足(m-k)%6==0，这是必要性；当k>=3时，令b=(m-k)/6，因为任意一个自然数最多只需要3个三角形数即可表示，所以b=i₁(i₁-1)/2+i₂(i₂-1)/2+...+i_k(i_k-1)/2恒有解，这是充分性。故答案k需满足k>=3且(m-k)%6==0，由于是求最小个数，k从3枚举到第一次满足(m-k)%6==0即可得到答案。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <vector> #include <ctime> #include <deque> #include <queue> #include <algorithm> using namespace std;   #define pb push_back #define mp make_pair #define X first #define Y second #define all(a) (a).begin(), (a).end()   void readInt(){}void RI(int&X){scanf("%d",&X);}template<typename...R> void RI(int&f,R&...r){RI(f);RI(r...);}void RIA(int*p,int*q){int d=p<q?1:-1; while(p!=q){scanf("%d",p);p+=d;}}void print(){cout<<endl;}template<typename T> void print(const T t){cout<<t<<endl;}template<typename F,typename...R> void print(const F f,const R...r){cout<<f<<", ";print(r...);}template<typename T> void print(T*p, T*q){int d=p<q?1:-1;while(p!=q){cout<<*p<<", ";p+=d;}cout<<endl;}   typedef pair<int, int> pii; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull;   template<typename T>bool umax(T &a, const T &b) {     return a >= b? false : (a = b, true); } /* -------------------------------------------- */   vector<int> table;   void init() {     for (int i = 1; ; i ++) {         ll buf = 3ll * i * (i - 1) + 1;         if (buf > 1e9 + 7) break;         table.pb((int)buf);     } }   bool chk(int x) {     int l = 0, r = upper_bound(all(table), x - table[0]) - table.begin() - 1;     while (l < r && table[l] + table[r] != x) {         l ++;         while (l < r && table[l] + table[r] > x) r --;     }     return table[l] + table[r] == x; }   int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE     freopen("in.txt", "r", stdin); #endif // ONLINE_JUDGE     int T;     cin >> T;     init();     while (T --) {         int x;         RI(x);         if (find(all(table), x) != table.end()) {             puts("1");             continue;         }         if (chk(x)) {             puts("2");             continue;         }         for (int k = 3; ; k ++) {             if ((x - k) % 6 == 0) {                 printf("%d\n", k);                 break;             }         }     }     return 0; }