【LOJ2542】「PKUWC2018」随机游走

题意

给定一棵 \(n\) 个结点的树，你从点 \(x\) 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。

有 \(Q\) 次询问，每次询问给定一个集合 \(S\)，求如果从 \(x\) 出发一直随机游走，直到点集 \(S\) 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。

\(1\leq n\leq 18\)，\(1\leq Q\leq 5000\) .

Solution

题意即为求集合中最后一个点被访问的期望时间。考虑 \(\text{min-max}\) 容斥，转化为第一个点被访问的期望时间 \(E(\min(S))\)

\(2^n\) 枚举所有子集 \(S\) ，设 \(f(u)\) 表示从 \(u\) 号点出发第一次走到子集 \(S\) 中的点的期望时间。若 \(u\) 在集合中则 \(f(u)=0\) ，否则

\[f(u)=1+d_uf(fa_u) +d_u(\sum f(ch_u))
\]

（其中 \(d_u=\frac{1}{deg[u]}\)，\(deg[u]\) 表示 \(u\) 的度数。 )

设 \(f_u=k_uf(fa_u)+b_u\) 。

令 \(sk_u=\sum k_{ch_u}, sb_u=\sum b_{ch_u},\)

\[\begin{align*}
f(u) &=1+d_uf(fa_u) +d_u(sk_uf(u)+sb_u) \\
(1-sk_u)f(u) &=d_uf(fa_u)+d_usb_u+1
\end{align*}
\]

由上式可得:

\[k_u=\frac{d_u}{1-sk_u}, b_u=\frac{d_usb_u+1}{1-sk_u}
\]

故我们直接一边 dfs 即可求出。

最后高维前缀和求 \(E(\max(S))\) ，询问直接输出即可。复杂度 \(O(n\cdot 2^n)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
const int N=21,M=(1<<18)+5,Mod=998244353;
int head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],n,q,x,s,d[N],f[M],k[N],b[N];
inline int mul(int x, int y) { return 1ll*x*y%Mod; }
inline int po(int x, int y)
{
	int r=1;
	while(y)
	{
		if(y&1) r=mul(r,x);
		x=mul(x,x), y>>=1;
	}
	return r;
}
void addedge(int u, int v, int now) {
	nxt[now]=head[u], head[u]=now, to[now]=v;
}
void dfs(int u, int fa)
{
	k[u]=b[u]=0;
	if(s&(1<<u-1)) return ;
	int sk=0,sb=0;
	for(int e=head[u];e;e=nxt[e])
	{
		if(to[e]==fa) continue;
		dfs(to[e],u);
		sk=(sk+k[to[e]])%Mod,sb=(sb+b[to[e]])%Mod;
	}
	int tmp=po(Mod+1-mul(d[u],sk),Mod-2);
	k[u]=mul(d[u],tmp),b[u]=mul(mul(d[u],sb)+1,tmp);
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&q,&x);
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
		addedge(u,v,i*2-1);
		addedge(v,u,i*2);
		++d[u],++d[v];
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) d[i]=po(d[i],Mod-2);
	for(s=1;s<(1<<n);++s)
	{
		dfs(x,x);
		f[s]=__builtin_popcount(s)&1?b[x]:Mod-b[x];
	}
	for(int i=0;i<n;++i)
		for(int j=0;j<(1<<n);++j)
			if(j&(1<<i)) f[j]=(f[j]+f[j^(1<<i)])%Mod;
	while(q--)
	{
		int k,now=0; scanf("%d",&k);
		for(int i=1;i<=k;++i)
		{
			int x; scanf("%d",&x);
			now|=(1<<x-1);
		}
		printf("%d\n",f[now]);
	}
}