bzoj 1815: [Shoi2006]color 有色图 置换群

1815: [Shoi2006]color 有色图

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Description

Input

输入三个整数N,M,P
1< = N <= 53
1< = M < = 1000
N< P < = 10^ 9

Output

即总数模P后的余数

Sample Input

input 1
3 2 97

Sample Output

output 1
4

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define PROB "graph"
#define MAXE MAXN*MAXN
#define MAXN 66
#define MAXM MAXN*MAXN
typedef long long qword;
int n,m,mod;
struct edge
{
        int x,y;
}e[MAXE];
bool operator < (edge e1,edge e2)
{
        if (e1.x==e2.x)return e1.y<e2.y;
        return e1.x<e2.x;
}
bool vis[MAXN];
int vec[MAXN];
qword sum=;
int per[MAXM];
int g[MAXN];
qword pow_mod(qword x,qword y)
{
        qword ret=;
        while (y)
        {
                if (y&)ret=ret*x%mod;
                x=x*x%mod;
                y>>=;
        }
        return ret;
}
void init()
{
        int i,j,k;
        int m;
        int x,y;
        for (i=;i<=n;i++)
        {
                m=;
                for (j=;j<i;j++)
                        for (k=j+;k<i;k++)
                                e[m].x=j,e[m++].y=k;
                for (j=;j<m;j++)
                {
                        edge et;
                        et.x=min((e[j].x+)%i,(e[j].y+)%i);
                        et.y=max((e[j].x+)%i,(e[j].y+)%i);
                        per[j]=lower_bound(e,e+m,et)-e;
                }
                for (j=;j<m;j++)
                {
                        if (~per[j])
                        {
                                g[i]++;
                                x=j;
                                y=per[x];
                                per[x]=-;
                                while (~per[y]){
                                        x=y;
                                        y=per[x];
                                        per[x]=-;
                                }
                        }
                }
        }
        return ;
}
int gcd(int x,int y)
{
        return x%y==?y:gcd(y,x%y);
}
qword fact[MAXN],ufact[MAXN],uval[MAXN];
int gcdv[MAXN][MAXN];
int totv;
void dfs(int s,int b)
{
        if (!s)
        {
                register qword val=;
                register int res=,n0=n,i,j;
                for (i=;i<totv;i++)
                        for (j=i+;j<totv;j++)
                                res=(res+gcdv[vec[i]][vec[j]])%(mod-);
                for (i=;i<totv;i++)
                {
                        res=(res+g[vec[i]])%(mod-);
                        val=val*fact[n0]%mod*ufact[n0-vec[i]]%mod*ufact[vec[i]]%mod;
                        n0-=vec[i];
                }
                //for (int i=0;i<totv;i++)printf("%d ",vec[i]);printf("\n");
                for (i=;i<totv;)
                {
                        for (j=i;j<totv && vec[j]==vec[i];j++);
                        val=val*ufact[j-i]%mod;
                        i=j;
                }
                for (i=;i<totv;i++)
                        val=val*fact[vec[i]]%mod*uval[vec[i]]%mod;
                //printf("val:%d\n",val);
                //printf("res:%d\n",res);
                sum+=pow_mod(m,res)*val%mod;
                sum%=mod;
                return ;
        }
        for (int i=b;i<=s;i++)
        {
                vec[totv++]=i;
                dfs(s-i,i);
                totv--;
        }
}
int main()
{
        freopen("input.txt","r",stdin);
        int i,j,k,x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
        init();
        fact[]=;
        for (i=;i<=n;i++)
                for (j=;j<=n;j++)
                        gcdv[i][j]=gcd(i,j);
        for (i=;i<=n;i++)
                fact[i]=fact[i-]*i%mod;
        for (i=;i<=n;i++)
                ufact[i]=pow_mod(fact[i],mod-);
        for (i=;i<=n;i++)
                uval[i]=pow_mod(i,mod-);
        dfs(n,);
        printf("%lld\n",sum*ufact[n]%mod);
}

　　也许我的想法和标准的想法还是有那么一点点偏差，但还是能做的，我们考虑将这道题转换为标准的染色问题，由于图的变换可以是点的任意置换，所以说图的置换群是n!个点的置换，注意，是“点的置换”，与“边的染色”，所一我们考虑点与变得关系，最朴素的做法是：枚举n!个排列，对于每个排列，算出边的置换以及置换群个数，同ploya定理做。

　　然后考虑到n!的排列个数太慢了。于是考虑到置换的性质，我们可以直接枚举点置换的循环节长度的组成，对于跨越两个长度x,y循环节间的边，循环节长度必定为lcm(x,y)，变得个数为x*y，所以循环节个数为gcd(x,y),但是循环节内部的边就比较麻烦，虽然看其他程序这也是一个很简单的式子，但是我不会推，就直接暴力预处理求出循环节数。

　　最后通过各种排列组合的公式，算出每一个循环节组成代表的排列个数，这道题就完了。