[usaco jan 09] 安全路径 travel [最短路径树]

题面：

传送门

思路：

既然最后一条边不能走，那么就一定是换了一条路，一条不经过这最后一条边的路

如果想要这条路最短，那么其在路上一定尽可能多地走了最短路径

因此，我们对这张图跑一遍从1开始的单源最短路，并建立出最短路径树

那么新的路径(1->u)一定是这样构成的：(1->v)+edge(v,w)+(w->u)，其中w是u在最短路径树上的后代

那么，我们对于每一条非树边(u,v)，其树上路径上所有点（除了lca）的答案，都可以被dis[u]+dis[v]+w(u,v)-dis[路径上的点]来更新

然而，直接每一次这样更新，时间效率肯定不行

对上述的结论进一步分析，可以发现，实际上dis[u]+dis[v]+w(u,v)对于每条非树边(u,v)固定

因此可以把dis[u]+dis[v]+w(u,v)排序，对于每一条非树边依次操作，并且使用并查集来跳过已经更新过得边

总时间复杂度：dij O(nlogn)，排序 O(mlogm) 更新答案 O(n)

Code：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<vector>
 using namespace std;
 struct edge{
     int to,w,next;
 }e[];
 struct new_edge{
     int from,to,w;
 }x[];
 struct node{
     int num,fa;
     vector<int>son;
 }a[];
 int n,m,first[],pre[],dis[],f[],ans[];
 bool vis[];
 void spfa(){
     int i,u,v,w;
     queue<int>q;memset(dis,,sizeof(dis));
     q.push();pre[]=;dis[]=;
     while(!q.empty()){
         u=q.front();q.pop();vis[u]=;
         for(i=first[u];~i;i=e[i].next){
             v=e[i].to;w=e[i].w;
             if(dis[v]>dis[u]+w){
                 dis[v]=dis[u]+w;pre[v]=u;
                 if(!vis[v]){
                     vis[v]=;q.push(v);
                 }
             }
         }
     }
 }
 bool cmp(new_edge l,new_edge r){
     return l.w<r.w;
 }
 int find(int x){
     return ((f[x]==x)?x:f[x]=find(f[x]));
 }
 int aa[],bb[],cc[];
 int main(){
     freopen("travel.in","r",stdin);
     freopen("travel.out","w",stdout);
     memset(first,-,sizeof(first));
     memset(ans,-,sizeof(ans));
     int i,j,t1,t2,t3,l,r;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(i=;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
         e[i*-].to=t2;e[i*-].next=first[t1];e[i*-].w=t3;first[t1]=i*-;
         e[i*].to=t1;e[i*].next=first[t2];e[i*].w=t3;first[t2]=i*;
         aa[i]=t1;bb[i]=t2;cc[i]=t3;
     }
     spfa();
 //    for(i=1;i<=n;i++) cout<<pre[i]<<ends<<dis[i]<<endl;
 //    for(i=1;i<=m;i++) cout<<aa[i]<<ends<<bb[i]<<ends<<cc[i]<<endl;
 //    cout<<"end of spfa"<<endl;
     for(i=;i<=n;i++){
         a[i].num=i;f[i]=i;
         a[i].fa=pre[i];
         if(i!=) a[pre[i]].son.push_back(i);
     }
     int cnt=;
     for(i=;i<=m;i++){
         if(pre[aa[i]]==bb[i]||pre[bb[i]]==aa[i]) continue;
 //        cout<<aa[i]<<ends<<bb[i]<<ends<<cc[i]<<endl;
         x[++cnt].from=aa[i];x[cnt].to=bb[i];x[cnt].w=dis[aa[i]]+dis[bb[i]]+cc[i];
     }
 //    cout<<"end2"<<endl;
     sort(x+,x+cnt+,cmp);
     for(i=;i<=cnt;i++){
         l=find(x[i].from);r=find(x[i].to);
         while(l!=r){
             if(dis[l]<dis[r]) swap(l,r);
             ans[l]=x[i].w-dis[l];
             f[l]=pre[l];l=find(l);
         }
     }
     for(i=;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
 }