【最短路径树】51nod1443 路径和树

并不是什么高端操作并且一些模型会用到

Description

给定一幅无向带权连通图G = (V, E) (这里V是点集，E是边集)。从点u开始的最短路径树是这样一幅图G1 = (V, E1)，其中E1是E的子集，并且在G1中，u到所有其它点的最短路径与他在G中是一样的。

现在给定一幅无向带权连通图G和一个点u。你的任务是找出从u开始的最短路径树，并且这个树中所有边的权值之和要最小。

Input

单组测试数据。
第一行有两个整数n和m(1 ≤ n ≤ 3*10^5, 0 ≤ m ≤ 3*10^5)，表示点和边的数目。
接下来m行，每行包含3个整数 ui, vi, wi ，表示ui和vi之间有一条权值为wi的无向边(1 ≤ ui,vi ≤ n, 1 ≤ wi ≤ 10^9)。
输入保证图是连通的。
最后一行给出一个整数u (1 ≤ u ≤ n)，表示起点。

Output

输出这棵树的最小的权值之和。

Input示例

3 3
1 2 1
2 3 1
1 3 2
3

Output示例

2

---

题目大意

求最短路径树的最小权值和

题目分析

最短路径树是原图的一种生成树。注意以不同的点为根产生的最短路径树是不一样的（道理同最短路）。

这里要求的是“最小权值和”，听上去好像很麻烦的样子：要把跑的最短路的边拎出来，再做一遍最小生成树……

但是实际上我们发现它是满足贪心性质的，并且并不会影响后面元素的取值。

所以只需要维护一个$pre[i]$表示转移到$i$的最小边权，然后在dij过程中再加一句判断就可以了。

来自hzq的告诫：“能用堆优化dij就用堆优化的dij，SPFA尽量尽量不要写。系统堆优化的dij有这么难写吗？”

 #include<bits/stdc++.h>
 typedef long long ll;
 const int maxn = ;
 const int maxm = ;
 const ll INF = ;

 ll dis[maxn],pre[maxn],ans;
 struct cmp
 {
     bool operator ()(int a, int b) const
     {
         return dis[a] > dis[b];
     }
 };
 struct Edge
 {
     int y;
     ll val;
     Edge(int a=, ll b=):y(a),val(b) {}
 }edges[maxm];
 int n,m,s;
 int head[maxn],nxt[maxm],edgeTot;
 std::priority_queue<int, std::vector<int>, cmp> q;

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = ;
     bool fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
         if (ch=='-') fl = ;
     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     if (fl) num = -num;
     return num;
 }
 void addedge(int u, int v, ll w)
 {
     edges[++edgeTot] = Edge(v, w), nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot;
 }
 int main()
 {
     memset(head, -, sizeof head);
     n = read(), m = read();
     for (int i=; i<=m; i++)
     {
         int u = read(), v = read(), w = read();
         addedge(u, v, w), addedge(v, u, w);
         dis[i] = INF;
     }
     s = read(), q.push(s), dis[s] = ;
     while (q.size())
     {
         int tt = q.top();
         q.pop();
         for (int i=head[tt]; i!=-; i=nxt[i])
         {
             int v = edges[i].y;
             ll w = edges[i].val;
             if (dis[v] > dis[tt]+w||(dis[v]==dis[tt]+w&&pre[v] > w))
                 dis[v] = dis[tt]+w, pre[v] = w, q.push(v);
         }
     }
     for (int i=; i<=n; i++)
         ans += pre[i];
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

END