Codeforces 464E #265 (Div. 1) E. The Classic Problem 主席树+Hash

E. The Classic Problem

http://codeforces.com/problemset/problem/464/E

题意：给你一张无向带权图，求S-T的最短路，并输出路径。边权为2^xi。xi≤10⁵，n≤10⁵,m≤10⁵.

想法：边权太大了，可以用数组按二进制存下来。带高精度跑太费事了。

观察一下，这里距离的更新：c=(a,b),用dis[a]更新dis[b]

①dis[b][c]=0,直接赋为1.只有一个数字改变。

②dis[b][c]=1，需要进位。考虑极端情况数据，xi都是一个数，那么需要进位O(m/2+m/4+m/8+...+1)≈O(m)

所以总改变次数为O(m)，使用主席树维护这个二进制数组。

然后比较大小，可以在主席树上二分，如果左儿子一样就往右儿子走，反之走左儿子。判断是否一样可以用Hash。一次比较为O(logm).

于是dijkstra+heap+主席树：

空间复杂度O(mlogm).

时间复杂度O(mlog^2m).

ps:因为有进位要给主席树预留logm个空间。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 const int len(),lem(),HP(),MP(),RP();
 struct ChairManTree{int nx[],sum;}tree[lem+];
 int stot,root[len+];int H[len+],b[len+],tp;
 struct Node{int nd,nx,co;}bot[len*+];
 int tot,first[len+];
 int n,m,v[len+],u[len+],x[len+],axle[len+],up,big,s,t,last[len+];
 void add(int a,int b,int c){bot[++tot]=(Node){b,first[a],c};first[a]=tot;}
 int two(int x)
 {
     int l=,r=up,ans=,mid;
     while(l<=r)
     if(axle[mid=(l+r)>>]>=x){ans=mid;l=mid+;}else r=mid-;
     return ans;
 }
 void update(int k,int l,int r)
 {
     tree[k].sum=(1ll*tree[tree[k].nx[]].sum*H[(r-l+)>>]+tree[tree[k].nx[]].sum)%MP;
 }
 void build(int k,int l,int r,int x)
 {
     if(l==r){tree[k].sum=x;return;}
     int mid=(l+r)>>;
     tree[k].nx[]=++stot;build(stot,l,mid,x);
     tree[k].nx[]=++stot;build(stot,mid+,r,x);
     update(k,l,r);
 }
 int cmp(int k1,int k2)//-:k1<k2,+:k2>k1,0:k1=k2,return +-pos
 {
     int l=,r=up+,mid;
     while(l!=r)
     {
         mid=(l+r)>>;
         if(tree[tree[k1].nx[]].sum==tree[tree[k2].nx[]].sum)
         k1=tree[k1].nx[],k2=tree[k2].nx[],l=mid+;
         else k1=tree[k1].nx[],k2=tree[k2].nx[],r=mid;
     }
     if(tree[k1].sum==tree[k2].sum)return ;
     if(tree[k1].sum<tree[k2].sum)return -l;
     return l;
 }
 int insert(int k,int l,int r,int &x)
 {
     int z=++stot;
     if(l==r)
     {
         if(tree[k].sum)tree[z].sum=,x--;//进位
         else tree[z].sum=;return z;
     }
     int mid=(l+r)>>,tmp;tree[z]=tree[k];
     if(x>mid){tmp=insert(tree[k].nx[],mid+,r,x);tree[z].nx[]=tmp;}
     if(x<=mid){tmp=insert(tree[k].nx[],l,mid,x);tree[z].nx[]=tmp;}
     update(z,l,r);
     return z;
 }
 void dfs(int x,int l,int r)
 {
     if(l==r){b[l]=tree[x].sum;return;}
     int mid=(l+r)>>;
     dfs(tree[x].nx[],l,mid);
     dfs(tree[x].nx[],mid+,r);
 }
 struct data
 {
     int x,y;
 bool operator <(const data &A)const//默认小根堆
     {
         return (cmp(x,A.x)>);
     }
 }q[len*+];int qfree;
 void Dijkstra()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)root[i]=root[n+];
     root[s]=root[];q[qfree=]=(data){root[s],s};
     while(qfree)
     {
         data now=q[];std::pop_heap(q+,q++qfree);qfree--;
         while(root[now.y]!=now.x&&qfree){now=q[];std::pop_heap(q+,q++qfree);qfree--;}
         if(root[now.y]!=now.x&&!qfree)break;
         for(int v=first[now.y];v;v=bot[v].nx)
         {
             int tmp=insert(root[now.y],,up+,bot[v].co);
             int pos=cmp(tmp,root[bot[v].nd]);
             if (pos>=)continue;
             last[bot[v].nd]=now.y;
             root[bot[v].nd]=tmp;
             q[++qfree]=(data){root[bot[v].nd],bot[v].nd};
             std::push_heap(q+,q++qfree);
         }
     }
 }
 void put()
 {
     if(root[t]==root[n+])printf("-1");
     else
     {
         if(tree[root[t]].sum==tree[root[]].sum)printf("0\n");
         else
         {
             dfs(root[t],,up+);
             int tmp=,j=,l=;
             for(int i=up;i>=;i--)
             {
                 while(l<axle[i]){l++;j=(j+j)%RP;}
                 tmp=(tmp+1ll*j*b[i])%RP;
             }
             printf("%d\n",tmp);
         }
         int now=t;b[tp=]=t;
         while(last[now])
         {
             now=last[now];
             b[++tp]=now;
         }
         printf("%d\n",tp);
         for(int i=tp;i>=;i--)
         printf("%d ",b[i]);
     }
 }
 bool cmp2(int a,int b){return a>b;}
 int main()
 {
     freopen("C.in","r",stdin);
     freopen("C.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",v+i,u+i,x+i);
         if(x[i]>big)big=x[i];
     }
     scanf("%d%d",&s,&t);
     for(int i=;i<=big+;i++)axle[i]=big+-i;up=big+;
     H[]=;for(int i=;i<=up+;i++)H[i]=(1ll*H[i-]*HP)%MP;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         x[i]=two(x[i]);
         add(v[i],u[i],x[i]);
         add(u[i],v[i],x[i]);
     }
     root[]=++stot;build(root[],,up+,);//zero
     root[n+]=++stot;build(root[n+],,up+,);//INF
     Dijkstra();
     put();
     return ;
 }