[论文]CA-Tree: A Hierarchical Structure for Efficient and Scalable Coassociation-Based Cluster Ensembles

作者：Tsaipei Wang, Member, IEEE

发表：IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS—PART B: CYBERNETICS, VOL. 41, NO. 3, JUNE 2011

　　这是一遍关于聚类集成的论文，作者提出了一种聚类集成方法，命名为：CA-Tree，，基于层次结构（dendogram），这个结构的大致与hierarchical cluster 相同，当然是比hc 效果好，同时该方法适合用于数据样本比较大的时候，在数据样本量大时也能保证整个process 时间上的高效，接近于O(N)，且有准确率有保证。

　　论文中主要的思想是，用一个代表一群样本，然后对代表进行类标识，代表中的样本就属于该类了。

　　该方法的优点有：

1. 只需要样本的聚类结果，不需要获取样本的属性，比基于原型的方法，节省了一定的步骤。
2. 对比 基于原型的算法，不需要先验知识（分多少个类），而是一个临界值，同时实验证明这个临界值可以在不同数据集中使用。
3. 时间复杂度 趋向于N （样本数量）。
4. CA-Tree 内包括一个限制最终聚类数的方法。

下面是一下参数的论文中的描述，尽量用相同的符号，可以先跳过，直接看我写的：

下面是算法的描述：

　　对于有N个样本的数据集：X = {x₁, x₂, . . . ,x_N}。

　　对其分别进行H 次的聚类，h-th次的聚类结果记为：P_h= {C₁, C₂, . . . , C_k}，k是该h-th 聚类算法类的个数，可以知道每个是不同的，这里下标就不标了，这里的C 就是类标号了。

　　那么对于一个样本x_i，给他一个 1xH 的 λ_i 向量，表示在h-th 聚类算法中他属于哪个类，eg: H=2， λ_i =<4,10>，表示第一聚类算法中其属于第4个类，第二聚类算法中其属于第10个。

　　样本之间的距离使用海明距离（Hamming），即两向量中不同的位标记位1，同的标记位0，之和，记为：d(λ_i ,λ_j )。

　　上面的基础介绍，竟然知道了两个样本之间的距离那么可以算一下相似度矩阵了，注意的是该相似度矩阵只是作者提出的计算方法，在算法中不需要用到：

相似度矩阵：

　　对于一个聚类算法结果，计算一个相似度矩阵，这个是原始的相似度矩阵，最终结果的相似度矩阵会有不同，对于同属于一类的标记为1，不同为0：

　　然后对于H 个相似度矩阵求个平均便是最终的相似度矩阵：

　　这个公式与下面等价：

 构建CA-TREE：

　　回顾上面们说的，CA-TREE的思想是 用一个代表一群，这个一个怎么来下面说，来一个例子，下图是100个样本，真实分类如下：

  

　　在初始介绍的时候，我们知道了每个样本都有一个label vector λ_i，一个聚类算法中的类属，那么我们我们对上面这个初始数据k-means 下，k=3,4,5,6（上又），这就有4个聚类算法的结果了，这样100个样本的λ，可以知道这100个λ 里面有一些是完全相同的， 这样我们将完全相同的λ 对应的样本划分为一组，以论文的例子来这样一共划分了9组，表格如下，第一行数组号，第二行是该组的λ，第三行可以忽略。

　　在图上的反映如下：

　　通过简单的划分，便将100个样本划分成9个组，每组的用λ 作为标识，这样复杂度就降下来了，当然还有后面的。这里我们获得了9个组，接着就是构建树，我们有9个λ ，然后是构建树，论文中有算法流程，但是阅读起来很费经，我做一个理解转述：

　　看这个表中的label vactor，第一行，一共有3个不同的（1 2 3），那么节点便有3个子节点，每个子节点分配了符合的index，即1分支获得:1-4，2分支获得:5-6,3分子获得8-9；然后进入分支自己来，然后看第二行，1-4中的第二行的不同有2 3 ，所以该点分成两个分支，其他分支一样，直到4行聚类结果都用上了，生成一个5层的树，最底层的叶子只有一个index，如下右边：

　　这个树还需要"变形"一下，不过可以先描述一下的，树中的节点包括其分支中的所有叶子的index，例如第一行的根节点包括1-9 index，第二行的左边节点包括1-4 index，我们用z 来表示一个节点，这个有可能是分支节点，也有可能是叶子，那么X(z) 表示z有的样本，而G(z) 表示z有的全部label vector，G(z)需要搞明白，z 为叶子时候，那么G(z) 就是该index 的label vector，如果z 为根节点，那么G(z) 则为 1-9 index 的label vector。

　　搞清楚了G(z)的含义后，我们定义节点的 size，这个size 计算如下，首先我们定义一个label vector （λ） 与G(z) (一组λ)  的距离:

　　知道了一个label vector 与一组label vector 的距离计算，我们每个节点z 都有一组label vector G(z)，那么每个节点需要选出一个label vector 作为其代表，方法就是遍历一下，选取是的上面这个最小的那个：

　　节点z 有了代表的label vector，那么节点的size 就选用，其实就是最小的那个距离：

　　既然有了节点的size，那么这个树可以改成如下，使用节点的size 作为层的选择，其实就是上面那颗树的中右分支拉下来了：

　　然而，上面的构建方法是全遍历，时间复杂度随着节点高度上升，时间变长（节点的label vector 多了，遍历时间长了），而且可能出现多个多个满足的代表λ，例如 index 7,8，选7的label vector 作为代表那么 与 index 9 的结合的size 为2，选择8作代表那么size 为1 ，所以需要改进。

改进方法：

　　上面的方法主要原因是上层节点确认代表的label vector 时候遍历时间长，可以发现其实不需要全遍历，从这方面入手，减少需要遍历的label vector，我们记Z'(z)为z 节点的孩子及孙子节点，当然不是全部的子孙节点都包括，不然就不能提速了，这个怎么选，后面会描述，同时注意到d(,)公式使用的是海明距离，那么其是有上界 H的，那么上面的公式一个 label vector 与节点的距离可以修改为：

　　{} 中左边其实就是距离的上界，右边的是从Z'(z)  中选择节点的代表计算其距离加上该节点的size，可以知道只要限制了Z'(z) 的个数，那么这个计算时间上便有上界，此时z 节点的代表选择方法如下，其中G'(z)为Z'(z)的中全部节点的代表label vector：

 ，

　　此时的z 节点的size 便如下：

　　可以看出只要限制了 Z'(z)的个数，便能够提高效率，下 Z'(z) 的确定方法：将z 节点的全部孩子节点（不包括孙子）放入篮中，然后对篮子中的最大的节点取出，放入其的孩子节点，循环这个步骤直到篮中的全部节点都为叶子，或者篮中的节点数超出阀值。

　　例子说明：假如我们求 z为1 的时候，我们设阀值=2，那么Z'(z)  包括的节点有 2,3，符合要求了。假如我们设阀值为3，那么初始时候包括的节点为2,3，然后2会被取出来，放入其孩子节点 4,5，此时便有 4,5,3。 论文中选择的阀值为n_des=32.

　　可以看出这样的改进是从下往上的，上层计算基于下次的结果，同时Z'(z)  会有上界，因为其符合：

切割：

　　通过上面的方法，我们有效地构建了这颗CA-tree，到确定类划分，跟hc 的方法类似，上面我们提到需要一个临界值来划分，如何这样我们选取后，如下图的虚线，那么虚线下的每一个分支便作为一类，如图的划分类数变为5，通过调整这个临界值，可以划分成不同的类数，临界值记为τ，切割方法记为Z(τ),类个数记为N_z(τ)

  

　　更新的相似度矩阵计算方法：

　　下图是临界值不同选择的结果，上面的对应结果为b 图，当临界为2时候，便与真实结果一样，abcd 对应的类数为 6543

限制：

　　注意到，例如上面的a图，其中的组的sample 占了很多，所以对于选择临界值选择后，进行进一步的限制，减少类数，N_z(τ) 成一个系数γ，变行，例如下图，我们选择为虚线切割，那么会分成5个类，如果γ=0.8，那么 最终的类数=4，加入节点4的sample 数最少，那么其变被排除在外，另外4个分支各成为1类。

　

　　好了，现在的问题是怎么确定4节点对应的样本(们)的类标号，我们知道节点4的label vector，按论文的说法是：对于确定的分支节点(上图有箭头除了4的4个节点），即他们的祖先们，构建一棵树，然后确定4的类标号时候，从这颗树的根节点触发，迭代寻找其孩子节点与4 的了label vector 最相似的节点，迭代到这棵树的叶子，便用这叶子节点的类数，上图中的4类标号用的是5节点的类标号。

　　我感觉或许会有多个的情况，但不深究这个了。

　　到此ca-tree聚类集成算法描述完毕，实验结果看论文吧，论文中有时间分析。