单调旋转数组的TopK问题

问题描述：输入一个单调旋转后的数组，求该数组中的第k小的元素。

分析：很多人看到这个题目会有点懵，可能读者不知道什么是旋转数组，我先解释下两个概念，

旋转数组的定义：把一个数组的前几项元素移动到数组的末尾，称之为数组的旋转。

单调旋转数组的定义：如果数组在旋转之前是一个单调数组，则旋转之后称之为单调旋转数组。

为了方便解释，这里我以单调非递减的旋转数组为例进行解释，其他类型可以通过这个例子类推。

解法一：最简单的方法就是从头到位扫描一遍，求出小的元素下标，进而推算出第k小的元素下标，即可得到答案。

但是这样做的时间复杂度为O(n).还可以寻求更快的解法。

解法二：充分利用数组的单调性质解题，可以发现旋转之后的数组可以划分为两个单调子数组，其中一个单调子数组所有的元素都大于等于另一个数组中的元素。

并且最小的元素正好是两个元素的分解点，这样就可以使用二分查找法进行查找。

可以设置三个指针left,right,mid分别指向数组头元素、尾元素和中间元素的下标。利用中间元素去和头元素比较，有两种情况：

如果a[mid]>=a[left]，则令left=mid

如果a[mid]<a[left]，则令right=mid

然后再重新计算mid，就这样一直循环去做，直到left+1==right停止，此时rigth就是最小元素下标，再根据k计算出第k小元素的下标即可。

此方法的时间复杂度为O(logn)。

对比：很明显解法二比解法一要快，但是要求数组必须是单调数组，而解法一可以用于所有的旋转数组。由于解法一，比较简单，我就不再编程实现了，我主要对解法二去编程实现。

对于一般的测试样例，解法二都没问题，但是对于特殊的测试样例，却出现了问题。

例如：1，0，1，1，1和1，1，1，0，1可以发现结果不正确，因此需要加以改进，如果left,right,mid所指元素都相等，解法二无能为力，需要使用解法一求解。

我们可以在程序中对待这一特定条件去单独判断即可。

另外解法二还可以进一步优化，如果a[left]<a[right]，我们直接就可以求出a[left]就是最小的元素，进而根据k求出第k小的元素。

具体的Java代码如下，代码写法都比较通用，读者可以很容易的转化为其他语言实现。

 public class Main{
     public static void mintopk(int a[],int k){
         if(a==null ||k<=0 ||k>a.length)                      //如果数组不存在或者k不符合要求，则直接结束
             { System.out.println("不存在");
               return ;
             }
         int p;                                              //用来表示mintopk数的下标
         int left=0,right=a.length-1,mid=(left+right)/2;     //求出起初的开始、结束和中间元素下标
         if(a[mid]==a[left] && a[mid]==a[right])             //如果三个下标所指元素相等，则从头开始扫描
             for(int i=1;i<a.length;i++)
                 if(a[i-1]>a[i])
                 {   p=i+k-1;
                     if(p>a.length-1)p=p-a.length;           //求出mintopk的下标
                     System.out.println(a[p]);
                     return;
                 }
         if(a[left]<a[right])                                //如果头元素小于尾元素，则表明left所指为最小元素
         {
             p=left+k-1;
             if(p>a.length-1)p=p-a.length;
             System.out.println(a[p]);
             return;
         }

         while((left+1)!=right)                              //利用三个指针进行查找
         {
             if(a[mid]>=a[left])left=mid;
             else right=mid;
             mid=(left+right)/2;
         }
         p=right+k-1;
         if(p>a.length-1)p=p-a.length;
         System.out.println(a[p]);
     }
     public static void main(String[] args) {
         // TODO 自动生成的方法存根
         int a[]={3,4,5,1,2};
         int k=5;
         mintopk(a,k);
     }

 }

输出结果为：

5

注意：代码中我只写了一组测试例子，读者可以下载代码自行验证。