NC16513 无关(relationship)

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题目

题目描述

若一个集合A内所有的元素都不是正整数N的因数，则称N与集合A无关。

给出一个含有k个元素的集合A={a1,a2,a3,...,ak}，求区间[L,R]内与A无关的正整数的个数。

保证A内的元素都是素数。

输入描述

输入数据共两行：

第一行三个正整数L,R,k，意义如“题目描述”。

第二行k个正整数，描述集合A，保证k个正整数两两不相同。

输出描述

输出数据共一行：

第一行一个正整数表示区间[L,R]内与集合A无关的正整数的个数

示例1

输入

1 10 4
2 3 5 7

输出

1

示例2

输入

2 10 4
2 3 5 7

输出

0

说明

对于30%的数据：1<=L<=R<=10^6

对于100%的数据：1<=L<=R<=10^18,1<=k<=20,2<=ai<=100

题解

知识点：容斥原理，数论。

经典容斥题，我们将 \([l,r]\) 拆成 \([1,l-1],[1,r]\) ，分别计算两边然后减一下就行。

众所周知， \([1,n]\) 中 \(d\) 的倍数个数有 \(\left\lfloor \dfrac{n}{d} \right\rfloor\) 。接下来考虑容斥，比如去掉 \(2,3,5\) 的倍数，那么计算过程为：

\[\begin{aligned}
&+ \left\lfloor \dfrac{n}{1} \right\rfloor\\
&- \left( \left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{5} \right\rfloor \right) \\
&+ \left( \left\lfloor \dfrac{n}{2\cdot3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{2\cdot 5} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{3 \cdot 5} \right\rfloor \right) \\
&- \left\lfloor \dfrac{n}{2 \cdot 3 \cdot 5} \right\rfloor\\
\end{aligned}
\]

时间复杂度 \(O(2^k)\)

空间复杂度 \(O(k)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int a[27];
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    ll l, r;
    int k;
    cin >> l >> r >> k;
    for (int i = 1;i <= k;i++) cin >> a[i];

    ll ans = 0;
    for (int mask = 0;mask < (1 << k);mask++) {
        ll mul = 1;
        bool f = 0;
        for (int i = 0;i < k;i++)
            if (mask >> i & 1) mul = min((__int128_t)mul * a[i + 1], (__int128_t)1e18 + 1), f ^= 1;
        if (mul > 1e18) continue;
        ans += (f ? -1 : 1) * (r / mul - (l - 1) / mul);
    }

    cout << ans << '\n';
    return 0;
}