Visible Lattice Points 题解

Visible Lattice Points

题目大意

给定一个 \(N×N×N\) 的由若干点组成的立方体，点的坐标从 \((0,0,0)\) 到 \((N,N,N)\)，求从点 \((0,0,0)\) 处可以看见多少个点。

思路分析

我们将立方体上的点分成三类：

• 在 \(xy,yz,xz\) 平面上的点。
• 在 \(x,y,z\) 轴上的点。
• 即不在平面，也不在坐标轴上的点。

就可以简单得出我们需要求的式子：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n[\gcd(i,j,k)=1]+3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=1]+3
\]

然后就可以开始愉快的颓柿子了：

\[\begin{aligned}&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n[\gcd(i,j,k)=1]\\&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n[d|i][d|j][d|k]\\&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor^3\end{aligned}
\]

类似的，

\[\begin{aligned}&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=1]\\&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[d|i][d|j]\\&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor^2\end{aligned}
\]

因此，我们的答案就是：

\[3+\sum_{d=1}^n\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor^2(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor+3)
\]

只需要线性筛出 \(\mu\) 的前缀和，再通过整除分块就可以在 \(O(\sqrt n)\) 的时间复杂度内得出结果。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1111111,L=1000000;
#define int long long\\好习惯

int T,n,ans,cnt;
int v[N],prime[N],mu[N];

void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=L;i++){
        if(!v[i]){prime[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=L;j++){
            v[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=L;i++) mu[i]+=mu[i-1];\\计算前缀和
}

signed main(){
    sieve();
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        ans=0;
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){//简单的整除分块
            r=n/(n/l);
            ans+=(mu[r]-mu[l-1])*((n/l)*(n/l)*(3+(n/l)));\\根据式子计算结果
        }ans+=3;
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}