机器学习笔记(2): Logistic 回归

Logistic 回归是线性回归中一个很重要的部分。

Logistic 函数：

\[\sigma(x) = \frac {L} {1 + \exp(-k(x - x_0))}
\]

其中：

• \(L\) 表示最大值
• \(x_0\) 表示对称中心
• \(k\) 表示倾斜度

一般来说，都将 \(L\) 设为 \(1\)，而 \(k\) 和 \(x_0\) 在参数中控制。

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认为特征只有一个，那么自然：

\[p(y = 1 | x) = \sigma(\omega_0 + \omega_1 x) = \frac 1 {1 + \exp(\omega_0 + \omega_1 x)}
\]

认为 \(\vec x\) 是特征向量，并且是增广向量，也就是：

\[\vec x = \begin{bmatrix}
x_0 & x_1 & \ldots & x_c & 1
\end{bmatrix}
\]

认为参数向量也是增广的：

\[\omega = \begin{bmatrix}
\omega_0 \\
\omega_1 \\
\vdots \\
\omega_c \\
1
\end{bmatrix}
\]

那么：

\[p(y = 1 | \vec x) = \sigma(\vec x \omega) = \frac 1 { 1 + \exp(\vec x \omega)}
\]

对于多组数据，\(X = \begin{bmatrix} \vec x_0 \\ \vec x_1 \\ \ldots \\ \vec x_m \end{bmatrix}\)：

\[p(\vec y = 1 | X) = \sigma(X \omega)
\]

注意最终得到是一个向量，\(\sigma\) 函数作用于向量中的每个单独的元素。

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利用交叉熵作为损失函数：

\[R(\omega) = - \frac 1 m \sum_{n = 1}^m \left(y_n \log \hat y_n + \left(1 - y_n \right)\log \left(1 - \hat y _n \right) \right)
\]

其中 \(\hat y\) 表示预测分类，而 \(y\) 表示实际分类。

由于 \(\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))\)，自然的可以推出其偏导数：

\[
\begin{aligned}
\frac \delta {\delta \omega} R(\omega)
&= - \frac 1m \sum \left( y_n \frac {\hat y_n (1 - \hat y_n)}{\hat y_n} x_n + (1 - y_n) \frac {- \hat y_n (1 - \hat y_n)}{1 - \hat y_n} x_n \right) \\
&= - \frac 1m \sum \left( y_n - \hat y_n \right) x_n \\
\end{aligned}
\]

写成向量形式也就是：

\[- \frac 1 m (\hat y - y) \cdot x
\]

于是利用梯度下降算法：

\[\omega = \omega - \frac \alpha m X {\Large (}\sigma(X \omega) - y{\Large )}
\]

代码和梯度下降函数十分相似。

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Feature Mapping

合理的利用线性回归可以解决很多复杂的问题。

大概率我们需要一个类似于圆的东西才可以拟合。

考虑到在高中我们学过：

\[C: Ax^2 + B y^2 + C x + D y + F =0
\]

可以表示一个圆，那么我们就可以利用重映射：

\[(x, y) \to \begin{bmatrix} 1 & x & y & xy & x^2 & y^2 \end{bmatrix}
\]

的方式将特征向量进行一点点简单的变换，那么自然就变成了对于多个参数的线性回归问题，一种可能的拟合是：

当然，我们也可以更复杂的利用这些参数，例如 \(x^3\)，\(\sqrt x\)，\(\frac 1 x\) 之类的参数，这取决于我们想要如何去拟合。

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正则化参数

和平方损失函数的正则化方式一模一样，见 机器学习笔记(1): 梯度下降算法

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Softmax Regression

其实就是多分类的 Logistic 回归：

\[p(y = c | \vec x) = {\rm softmax}(\vec x W) = \frac {\exp(\vec x W_c)}{\sum_{k = 1}^C \exp(\vec W_k)}
\]

其中 \(C\) 表示分类数，而 \(W = \begin{bmatrix} \omega_1 & \omega_2 & \ldots & \omega_C \end{bmatrix}\)，其中 \(\omega_i\) 就表示某一个 Logistic 函数的参数。

由于其实就是多个 Logistic 函数，所以其偏导数和参数学习过程非常相似：

\[W = W - \frac \alpha m X \left( \sigma(X W) - Y \right)
\]

值得注意的是，对于每一个 \(\omega_i\) 减去同一个 \(\theta\) 结果不会改变，意味着一般都需要正则化。