UVA1619 感觉不错 Feel Good（良好的感觉） 题解

0.题面：

给出正整数n和一个(1 <= n <= 100 000)长度的数列，要求找出一个子区间，使这个子区间的数字和乘上子区间中的最小值最大。输出这个最大值与区间的两个端点。

1.思路

一开始试图使用单调栈，然而在调试一上午无果后愤然打了个分治，然后就过了233

根据分治三步法，算法流程分为：

1.分解：定义 \(dfs(l,r)\) 为区间 \([l,r]\) 的最优解，\(mid = (l+r)/2\) ，可以把问题分为 \(dfs(l,mid)\) 和 \(dfs(mid+1,r)\) 两部分，分别对应最优解完全位于左子区间和右子区间的情况。

2.边界：当 \(l=r\) 时，\(dfs(l,r)={a_l}^2\)。（数列为\(a\)）

3.合并：在第一步处理了最优解完全位于左子区间和右子区间的情况，还有最优解跨越 \(mid\) 的情况没处理。注意到当最小值一定时，区间越大越好，所以可以从大到小地选择最大值，再从中点开始往左右两端“放宽”当前区间。

2.Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000000
typedef long long ll;
int n;
ll a[MAXN+5],sum[MAXN+5],ans;
struct answ{
	int l,r;ll v;
	answ(){
		l=r=v=0;
	}
	answ(int L,int R,ll V){
		l=L;r=R;v=V;
	}
};
bool operator < (answ l,answ r){
	return l.v<r.v;
}
struct ST{
	ll st[MAXN+1][31];
	int query(int l,int r){
        int k=log2(r-l+1);
        return min(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
    }
    void build(){
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		st[i][0]=a[i];
		}
    	for(int j=1;j<=30;j++){
            for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
                st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            }
        }
	}
}qwq;
ll query(int l,int r){
	return qwq.query(l,r)*(sum[r]-sum[l-1]);
}//求一个区间的“数字和乘上子区间中的最小值”
answ dfs(int l,int r){//分治主体
	int mid=(l+r)/2;
	if(l==r){//边界
		return answ(l,r,query(l,r));
	}
	answ ans=max(dfs(l,mid),dfs(mid+1,r));
	vector<int> tmp;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		tmp.push_back(a[i]);
	}
	sort(tmp.begin(),tmp.end());reverse(tmp.begin(),tmp.end());//从大到小地取区间最小值
	int L=mid,R=mid+1;
	ans=max(ans,answ(L,R,query(L,R)));
	for(int i=0;i<tmp.size();i++){//由于最小值“逐渐放宽”，所以区间只增不减
		if(tmp[i]>a[mid]||tmp[i]>a[mid]){
			continue;
		}
		while(a[L-1]>=tmp[i]&&L!=l){
			L--;
		}
		while(a[R+1]>=tmp[i]&&R!=r){
			R++;
		}//区间越大越好
		ans=max(ans,answ(L,R,query(L,R)));
	}
	return ans;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	cin>>a[i];
    	sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    qwq.build();
    answ ans=dfs(1,n);
    cout<<ans.v<<endl;
    cout<<ans.l<<" "<<ans.r<<endl;
    return 0;
}