【Luogu】P6232 [eJOI2019]挂架 题解

这道题跟CSP/S 2019 D1T1有点像。

我们先来模拟一下 \(n=4\) 的情况，

不难得出，最后的衣架挂钩顺序：

下标：  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
顺序：  1  9  5 13  3 11  7 15  2 10  6 14  4 12  8 16

我们发现，得到的顺序构成的序列中左半部分全是奇数，右半部分全是偶数。我们把它分开：

1 9 5 13 3 11 7 15
2 10 6 14 4 12 8 16

奇数部分每个数 \(+1\) 再 \(\div 2\)，偶数部分每个数 \(\div 2\)，可以得到：

1 5 3 7 2 6 4 8
1 5 3 7 2 6 4 8

我们惊喜地发现，上下部分变得一样了！不仅如此，这还恰巧是 \(n=3\) 的情况！

所以，我们自然而然想到递归。

如果深度已经是 \(n-1\) 了，直接将答案加上当前序号；（第一层深度为\(0\)）

如果当前序号为奇数，即在左半部分，则把它 \(+1\) 再 \(\div 2\)，继续递归；

如果当前序号为偶数，即在右半部分，则把它 \(\div 2\)，同时答案加上 \(2^{n-depth-1}\)（左半部分的长度），继续递归。

时间复杂度\(O(nlogn)\)，当然你预处理幂的话就是\(O(n)\)了。

\(Code:\)（极为精简的代码）

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
int n,k,MOD=1e9+7;
int qpow(int x,int y){ //快速幂
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=(res*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;y>>=1;
    }
    return res;
}
int dfs(int x,int dep) {
    //我这里深度是从1开始算的，所以下面调用快速幂时略有不同
    return dep==n?x:(x%2?dfs((x+1)/2,dep+1):(dfs(x/2,dep+1)+qpow(2,n-dep))%MOD);
}
signed main(){
    std::cin>>n>>k;std::cout<<dfs(k,1)%MOD<<std::endl;
    return 0;
}

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