CF816E-Karen and Supermarket

题目

Description

今天Karen要去买东西。

一共有 \(n\) 件物品，每件物品的价格为\(c_i\)，同时每件物品都有一张优惠券，可以对这件物品减价 \(d_i\) . 使用第 \(i\) 件物品的优惠券的条件是买这件物品并且使用了第 \(x_i\) 张优惠券。现在给出Karen带的钱数 \(b\) ，问最多能买几件物品。

Input

第一行两个整数 \(n\le 5\times 10^3 , b\le 10^9\) 。

接下来 \(n\) 行中第 \(i\) 行，首先有两个整数 \(c_i,d_i\le 10^9\) 。对于 \(i>1\) 有第三个整数 \(1\le x_i<i\) 。

Output

一行，输出最多能买的物品个数。

Sample Input

样例1：

6 16

10 9

10 5 1

12 2 1

20 18 3

10 2 3

2 1 5

样例2：

5 10

3 1

3 1 1

3 1 2

3 1 3

3 1 4

Sample Output

样例1：

4

样例2：

5

Hint

样例1： 买1,3,4号物品，用优惠券；买6号物品，不用优惠券

样例2：买所有的的物品，用优惠券

分析

由于每个物品只有一件，我们可以把问题转化成求买 \(k\) 个物品至少需要多少钱，最后再统计最多可以买多少个。

由于有 \(1\le x_i<i\) ，所以优惠券的使用条件构成了一棵树。现在问题是如何在这颗树上求解。

注意到如果一个点不用优惠券，那么子树中所有点都不能用，所以设状态：

\(f[x][i][0,1]\) 表示以 \(x\) 为根的子树中买 \(i\) 件物品，是否可以用优惠券（0不能，1能），那么可以通过子树的信息来更新当前点：

\[f[x][i+j][0]=\min \{f[u][i][0]+f[v][j][0],u,v\in \text{subtree}(x)\} \\
f[x][i+j][1]=\min \{f[u][i][1]+f[v][j][1],f[u][i][0]+f[v][j][1],u,v\in \text{subtree}(x)\} \\
\]

即如果当前点不可用优惠券，那么子树都不能用。如果当前点用优惠券，那么子树可用可不用。

这样\(f[\text{root}][k][1]\)就是我们要求的东西。

这样做似乎是\(O(n^3)\)的呢！我们实际上是枚举子树中的点对，所以可以不断地把点合并进当前点中，就可以做到\(n^2\)级别了。

循环的时候要从后往前，否则无法保证每件物品只买一次。

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long giant;
int read() {
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
	for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}
const int maxn=5e3+10;
const giant inf=1e13;
int n,bud;
giant f[maxn][maxn][2];
vector<int> g[maxn];
void add(int x,int y) {g[x].push_back(y);}
void Min(giant &x,giant y) {x=min(x,y);}
int dfs(int x) {
	int sz=1;
	for (int v:g[x]) {
		int vs=dfs(v);
		for (int j=sz;j>=0;--j) {
			for (int i=vs;i>=0;--i) {
				Min(f[x][i+j][0],f[x][j][0]+f[v][i][0]);
				Min(f[x][i+j][1],f[x][j][1]+f[v][i][1]);
			}
		}
		sz+=vs;
	}
	for (int i=0;i<=n;++i) Min(f[x][i][1],f[x][i][0]);
	return sz;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
#endif
	n=read(),bud=read();
	for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=0;j<=n;++j) for (int k=0;k<2;++k) f[i][j][k]=inf;
	for (int i=1;i<=n;++i) {
		f[i][0][0]=0,f[i][1][0]=read(),f[i][1][1]=f[i][1][0]-read();
		if (i>1) add(read(),i);
	}
	dfs(1);
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=n;++i) if (f[1][i][1]<=bud) ans=i;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}