【uoj#180】[UR #12]实验室外的攻防战 结论题+树状数组

题目描述

给出两个长度为 $n$ 的排列 $A$ 和 $B$ ，如果 $A_i>A_{i+1}$ 则可以交换 $A_i$ 和 $A_{i+1}$ 。问是否能将 $A$ 交换成 $B$ 。

输入

输入数据第一行包含一个正整数 $n$ 。

接下来两行每行 $n$ 个正整数，分别描述排列 $A$ 和排列 $B$ 。

输出

对于每组数据，如果存在这样的指令序列，输出“YES”，否则输出“NO”(引号不输出，请注意大小写)。

样例输入

5
4 1 2 5 3
1 2 4 3 5

样例输出

YES

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题解

结论题+树状数组

结论：能将 $A$ 交换成 $B$ 的充要条件为：不存在 $i<j$ 使得 $A_i<A_j$ 且 $B_i>B_j$ 。

证明：简单模拟冒泡排序的过程即可得出结论。

那么我们要判断的就是是否存在 $i<j$ 使得 $A_i<A_j$ 且 $B_i>B_j$。

这看起来是一个三维偏序问题，但实际上我们只需要判断其存在性。因此可以：扫描法处理 $i<j$ ，对于从小到大的每个 $j$ ，找出所有 $A_i<A_j$ 中 $B_i$ 的最大值，看最大值是否大于 $B_j$，然后再加入 $j$ 。

这样就可以仅使用树状数组解决问题，时间复杂度 $O(n\log n)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int n , a[N] , b[N] , f[N];
inline void add(int x , int a)
{
	int i;
	for(i = x ; i <= n ; i += i & -i)
		f[i] = max(f[i] , a);
}
inline int query(int x)
{
	int i , ans = 0;
	for(i = x ; i ; i -= i & -i)
		ans = max(ans , f[i]);
	return ans;
}
int main()
{
	int i , x;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &x) , a[x] = i;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &x) , b[x] = i;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		if(query(a[i]) > b[i])
		{
			puts("NO");
			return 0;
		}
		add(a[i] , b[i]);
	}
	puts("YES");
	return 0;
}