Python算法——递归思想

编程语言在构建程序时的基本操作有：内置数据类型操作、选择、循环、函数调用等，递归实际属于函数调用的一种特殊情况（函数调用自身），其数学基础是数学归纳法。递归在计算机程序设计中非常重要，是许多高级算法实现的基础

编写递归程序的几个要点：

1、终止条件：最简单情况（避免无限循环）

2、递归公式：相邻两次调用间的关系（递归算法核心）

3、忽略调用具体细节：假设所有调用都会达到终止条件（从思想上接受递归算法的关键）

4、效率：递归算法有时效率较低，可考虑其他更高效的实现方式（见问题5）

下面我们通过几个典型问题了解递归程序的的写法和思路：

问题1：求F(n)=1+2+3+...+n

也可用for循环实现，相比之下递归的代码更加简洁

从后往前：

def F(a):
    if len(a)==1:return(a[0])
    return(F(a[1:])+a[0])

或从前往后：

def FF(a):
    n = len(a)
    if n == 1:return(a[0])
    return (FF(a[:n-1])+a[n-1])

效果：

a=[1,4,6,9]
print(F(a))
>> 20

问题2：n条直线最多可以划分的平面个数？

首先举几个简单的例子，F(1) = 2，F(2) = 4，F(3) = 7

简单画个图就可以看出，每次划分增加1条直线，实际是在上次划分的基础上增加了n个交点，进而增加了n个平面

def F(n):
    if n == 1:return(2)
    return(F(n-1) + n)

问题3：求两个正整数的最大公约数

利用欧几里得算法：若p>q，则p和q的最大公约数等于q和p%q的最大公约数（证明思路：p和q的最大公约数等于p和p-q的最大公约数，也等于p和p-2q的公约数，以此类推直到p和p-nq即p%q）

终止条件：p被q整除，q=0，p即为所求（任何正整数都可被1整除，故一定能收敛）

def F(p,q):
    if q == 0:return p
    print(p,q)
    return F(q,p % q)
print(F(1440,408))
>> 1440 408
>> 408 216
>> 216 192
>> 192 24
>> 24

问题4：汉诺塔问题。把圆盘按大小顺序移到另一个圆盘上，每次只能移一个，小圆盘不能放大圆盘上边，如果有64个圆盘，需要挪多少次？

像这种问题如果生想的话估计会把脑细胞耗尽，索性我们有递归大法，可以忽略具体的实现细节：

终止条件：f(1)=1

递归公式：f(n)=2f(n-1)+1

def F(n):
    if n == 1:return 1
    return 2*F(n-1)+1

>>print(F(64))
>>18446744073709551615

问题5：斐波那契数列(1,1,2,3,5,8,13,21,34...)求和

def F(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    return(F(n-1) + F(n-2))

但由于存在重复计算，此程序效率较低，实际开发中通常采用其他方式实现，详见：

斐波那契数列的5种Python写法

斐波那契数列的矩阵解法

问题6：编写merge(L1,L2)函数，将两个排好序的小列表合成一个排好序的大列表，如merge([1,2,4],[3,5])=[1,2,3,4,5]

merge()是归并排序算法中的关键函数，我们在这里用递归实现一下：

def merge(L1,L2):
    if len(L1) == 0:return(L2)
    if len(L2) == 0:return(L1)
    if L1[0]<L2[0]:
        return([L1[0]]+merge(L1[1:len(L1)],L2))
    else:
        return([L2[0]]+merge(L1,L2[1:len(L2)]))

>>print(merge([1,2,4],[3,5]))
>>[1,2,3,4,5]

当然merge()有许多其他的实现方法，大家可自行探索

掌握了递归思想后，我们就可以写出更加简洁、高效的程序了。在后续算法的学习中，要注意递归思想在不同条件下的体现，熟练运用