BZOJ1925 [Sdoi2010]地精部落 动态规划

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题意概括

　　给出n，n<=4200，问1~n这些数的排列中，有多少满足一下性质：

　　性质：对于一个数，满足它的相邻数都大于或者小于它。

　　答案mod P

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题解

　　一道明摆着的动归题。

　　我们用dp[i][j]表示长度为i的序列（数字<=i），最终数为j的方案数。

　　我们只考虑开始的时候下降的情况，因为开始的时候上升的情况数是一样的，最后只要乘2就可以了。如果要我证明，那么只需要把开始下降的所有方案中的每一个数x更改成n+1-x就满足了。

　　然后考虑转移

　　如果接下来是上升，那么接下来填的数字x一定要比j大。那么你会说数字重复了。实际上我们只需要把前面>=x的数字都+1就可以了。也就是说，实际上前面的方案只是数字的排名。

　　那么方程就很明显了。

　　下降也差不多的。

　　看代码。

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代码

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=4200+5;
int n,mod,dp[2][N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&mod);
	memset(dp,0,sizeof dp);
	dp[0][1]=1;
	int x=0,y;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		y=x,x^=1;
		memset(dp[x],0,sizeof dp[x]);
		int sum=0;
		if (i%2==0)
			for (int j=i-1;j>=1;j--)
				sum=(sum+dp[y][j])%mod,dp[x][j]=(dp[x][j]+sum)%mod;
		else
			for (int j=1;j<i;j++)
				sum=(sum+dp[y][j])%mod,dp[x][j+1]=(dp[x][j+1]+sum)%mod;
	}
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		ans=(ans+dp[x][i])%mod;
	printf("%d",ans*2%mod);
	return 0;
}