Burnside引理和polay计数学习小记

在组合数学中有这样一类问题，比如用红蓝两种颜色对2*2的格子染色，旋转后相同的算作一种。有多少种不同的染色方案？我们列举出，那么一共有16种。但是我们发现，3,4,5,6是同一种，7,8,9,10是用一种，11,12是同一种，13,14,15,16是同一种，也就是只有6种本质上不同的染色。小规模我们可以列举所有方案然后再选择，大规模的时候是很难列举所有方案的。下面，我们说明用Burnside引理和polay计数来解决这类问题。

一、置换群G：即指所有的置换。上面的例子中置换只有4种，即旋转0、90、180和270度。其中G的大小记为|G|=4。

二、（1）对于每个元素K，这里的K满足1<=k<=16，G中使得K保持不变的置换组成的全体，称为。比如四种置换都可以使得1保持不变，而只有第一种和第三种置换使得11保持不变，所以我们有（G中的元素用g来表示）：

（2）对于每个元素K，在四种置换的作用下依次得到的元素称作K在G下的轨迹，表示为，代表一个等价类。比如1在四种置换下都得到1,3在四种置换下依次得到3,4,5,6。所以我们有：

我们发现在同一个等价类中的元素的等价类都是一样的，比如3,4,5,6的等价类都是跟3一样的。在这里我们给出一个公式，自己计算下显然成立：

四、接下来我们计算每个元素在各个置换下不变的次数总和。如下图所示。

由上图可得到（注意上图是用a来表示置换的，我们都是用的g），比如1在第一种置换下没有变，那么，且在第一种置换下16种都没有变，第二种置换下只有1、2没有变，第三种置换下只有1,2,11,12没有变，第四种置换下只有1、2没有变，那么有：

其实我们有下面的式子成立：

下面，我们用n来表示总的元素个数，上面n=16,我们用|G|来表示置换个数，上面|G|=4。我们设有L个等价类（我们在上面说了，比如3,4,5,6的等价类都是一样的，上面其实只有5个等价类,{1},{2},{3,4,5,6},{11,12},{13,14,15,16}），我们有：

所以，

这个就是著名的Burnside引理。注意这里的L其实就是我们要求的不同的染色方案的数目。因为L代表的是不同的等价类，同一个等价类就好比是一种染色。我们得到L=(16+2+4+2)/4=6，跟一开始我们得到的答案是一样的。使用这个引理计算时，第一步求出所有的置换，第二步计算每种置换下的不变元素的个数。但是，我们发现，有时候第二步的这个计算是不那么容易的。下面我们说polay定理。

五、我们首先说明循环节是个啥。

比如对于一个n=5，在某一种置换下（1,2,3,4,5）变成了(3,5,1,4,2)，我们将其记为(13)(25)(4)，即该置换的循环节为3。也就是两个置换节之间是不相交的。对于上面的那个问题，我们对四个方格标号1,2,3,4。

构造置换：

我们发现，的同一个置换节中的元素用同一种颜色(我们现在假设用m种颜色，刚才m=2)染色得到的方案数就是在上面在置换下不变的元素数：

由此我们得到：

这就是举世闻名的polay定理。用这个定理计算，我们只需要找到每个置换的循环节即可。