数位dp小练

最近刷题的同时还得填填坑，说来你们也不信，我还不会数位dp。




照例推几篇博客：

数位DP讲解

数位dp 的简单入门

这两篇博客讲的都很好，不过代码推荐记搜的形式，不仅易于理解，还短。




数位dp的式子一般是这样的：dp[i][][]表示到第\(i\)位，而后面几维就因题而异了。

不过通用的思想就是利用前缀相减求出区间信息。

算了上题吧。




[SCOI2009]windy数

这都说是数位dp入门题。

根据这题，受到影响的数只有相邻两个，因此dp[i][j]表示到第\(i\)位（从高往低）上一位的数\(j\)的答案。

接下来的关键在于怎么判断到达上界的情况。那么我们在搜索的时候加一个bool变量_Max表示是否到达上界，如果是，那么这一位的最大值就是该位上的数，否则就是9。

然后关于前导零，我又开了一个bool变量zero判断他之前有没有过非0的数。

接下来就是记搜的内容了。先写一个爆搜，然后把答案存在dp里，基本就是记搜了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 12;
inline ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), last = ' ';
	while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(last == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
inline void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int dp[maxn][maxn], num[maxn], cnt = 0;

In int dfs(int len, int las, bool _Max, bool zero)
{
    if(!len) return 1;  //表示出现了一个符合条件的数,就返回1
	if(!_Max && !zero && dp[len][las] != -1) return dp[len][las];
	//只有普通情况才可以返回记搜的答案.
	int pos, ret = 0, Max = _Max ? num[len] : 9;
	for(int i = 0; i <= Max; ++i)
	{
		if(abs(i - las) < 2) continue;
		pos = (zero && !i) ? -INF : i;  //如果前面都是0且这一位还填0，就标记为INF
		ret += dfs(len - 1, pos, _Max && i == Max, pos == -INF);
	}
	if(!_Max && !zero) dp[len][las] = ret;
	return ret;
}

In int solve(int n)
{
	Mem(dp, -1); cnt = 0;
	while(n) num[++cnt] = n % 10, n /= 10;  //处理每一位
	return dfs(cnt, -INF, 1, 1);
}

int main()
{
	int a = read(), b = read();
	write(solve(b) - solve(a - 1)), enter;
	return 0;
}

**[luogu P3413 SAC#1 - 萌数](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3413)**
这题反正我是不会，看了题解也没懂。最后在dukelv的帮助下搞明白了。
首先题解中有很多篇用了正难则反的思想，但其实没必要。
考虑最小的回文串，无非两种：aa, aba。
所以我们只用找出这两种回文串即可。因为大的回文串比如acbbca，在搜bb的时候，下几个状态就包括这个回文串了。
那么就要讨论奇偶，所以爆搜的时候开两个变量pre,per分别记录上一位和上上一位，然后判断和当前位是否构成回文串。
别忘了还可能会出现构不成萌数的情况，所以dp方程除了dp[i][j]表示到了第$i$位，这一位填$i$，还应再加一位[0/1]表示当前是否存在萌数，这样能剪枝不少。
```c++
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e3 + 5;
const ll mod = 1e9 + 7;
inline ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), last = ' ';
while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans = 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}

char a[maxn], b[maxn];

int num[maxn], len = 0;

ll dp[maxn][10][2];

In ll dfs(int pos, int pre, int per, bool _t, bool _k, bool _Max)

{

if(!pos) return _t; //_t表示当前是否存在萌数

if(!_Max && dp[pos][pre][_t] != -1) return dp[pos][pre][_t];

int Max = _Max ? num[pos] : 9;

ll ret = 0;

for(int i = 0; i <= Max; ++i)

ret += dfs(pos - 1, i, _k ? pre : -1, _t || (i == pre && _k) || (i == per && _k), _k || i, _Max && i == Max), ret %= mod;

if(!_Max && _k && per != -1) dp[pos][pre][_t] = ret % mod;

return ret;

}

In ll solve(char* s)

{

len = strlen(s + 1);

for(int i = 1; i <= len; ++i) num[i] = s[i] - '0';

reverse(num + 1, num + len + 1);

Mem(dp, -1);

return dfs(len, -1, -1, 0, 0, 1);

}

int main()

{

scanf("%s%s", a + 1, b + 1);

int tp = strlen(a + 1);

reverse(a + 1, a + tp + 1);

int pos = 1; //别忘了是高精减1……

--a[pos];

while(pos < tp && a[pos] < '0') a[pos++] = '9', --a[pos];

while(tp > 1 && a[tp] <= '0') a[tp--] = '\0';

reverse(a + 1, a + tp + 1);

write((solve(b) - solve(a) + mod) % mod), enter;

return 0;

}