HDU 4010 Query on The Trees（动态树）

题意

给定一棵 \(n\) 个节点的树，每个点有点权。完成 \(m\) 个操作，操作四两种，连接 \((x,y)\) ；提 \(x\) 为根，并断 \(y\) 与它的父节点；增加路径 \((x,y)\) 的节点一个 \(w\) 的点权；求路径 \((x,y)\) 的最大点权。

思路

基本概念介绍

\(\text{Link-Cut-Tree}\) 是一棵支持修改的树，以 \(\text{Splay}\) 为基础，均摊复杂度 \(O(n\log n)\) 的在线数据结构，支持的基础操作如下：

• 连边

• 断边

• 换根

• 路径修改

• 路径查询

无根树中，换根是用来进行路径操作的，而有根树并不能进行路径操作（因为需要改变根）

本题维护一棵无根树，使用以上功能即可。

如果用的够熟练，还有以下拓展功能：

• 有根树/基环树的处理
• 维护边权
• 维护最小生成树
• 维护子树信息

\(\text{LCT}\) 的结构是若干棵 \(\text{splay}\) ，每一棵 \(\text{splay}\) 维护的是原树上的某一条链（从顶到下）的一个序列，特殊的，某一棵 \(\text{splay}\) 根的父亲是它维护的实链在原树上对应的父亲，然而这个父亲并没有这个子节点（即认父不认子）。

基本函数

rotate

void rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
	if(!isroot(y))ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
	ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
	ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
	push_up(y),push_up(x);
}

其中 \(\text{isroot}\) 函数如下：

bool isroot(int x){return x!=ch[fa[x]][0]&&x!=ch[fa[x]][1];}

功能是判断这个点是不是 \(\text{splay}​\) 的根。

在 \(\text{splay}\) 里，上面的这些判断都可以略去，但是在 \(\text{LCT}\) 里不能略去。因为在 \(\text{LCT}\) 中，旋转是要在同一个 \(\text{splay}\) 中的，不能翻过头；而且零号节点有儿子可能会对 \(\text{isroot}\) 的判断有影响。

splay

void splay(int x)
{
    stk[tp=1]=x;
    for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])stk[++tp]=fa[y];
    while(tp)push_down(stk[tp]),tp--;
	while(!isroot(x))
	{
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(!isroot(y))(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
		rotate(x);
	}
}

有两点不同，首先这里的 \(\text{splay}\) 函数只需要上旋至根，所以不用再传参数；然后是这个函数一般从底向上，即没有提前先找到要提到根的节点 \(x\) ，故需要提前 \(\text{down}\) 完一路上的节点。

access

\(\text{access}(x)\) 的作用是将从 \(x\) 节点到原树的根这条路径放在同一个 \(\text{splay}\) 中，即打通 \(x\) 到根的路径。

void access(int x)
{
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),ch[x][1]=y,push_up(x);
}

make_root

\(\text{make_root}(x)\) 用来将 \(x\) 提到根，它和上面的 \(\text{access}\) 都是 \(\text{LCT}\) 比较核心的部分，它的组成异常的简短。

void make_root(int x)
{
	access(x),splay(x),reved(x);
}

\(\text{reved}\) 函数如下，表示旋转。

void reved(int x)
{
    rev[x]^=1;
    std::swap(ch[x][0],ch[x][1]);
}

将 \(x\) 与根放入同一个 \(\text{splay}\) 中，然后将 \(x\) 提到 \(\text{splay}\) 的根，由于然后对这个 \(\text{splay}\) 维护的序列进行翻转，不难发现，这样的旋转并不会使树的结构混乱，而恰好能将 \(x\) 作为根。

get_root

得到节点 \(x\) 的根，并将根也翻至 \(\text{splay}\) 的根。

int get_root(int x)
{
	access(x),splay(x);
	while(ch[x][0])push_down(x),x=ch[x][0];
	splay(x);
	return x;
}

link

\(\text{link}(x,y)\) 表示从 \(x\) 向 \(y\) 连一条边，如果 \(x,y\) 已经连通，则返回 \(\text{false}​\) 。

bool link(int x,int y)
{
	make_root(x);
	if(get_root(y)==x)return false;
	fa[x]=y;
	return true;
}

cut

\(\text{cut}(x,y)​\) 表示断开边 \((x,y)​\)，如果 \(x,y​\) 没有连边，则返回 \(\text{false}​\) 。

bool cut(int x,int y)
{
	make_root(x);
	if(get_root(y)!=x||ch[x][1]!=y||ch[y][0])return false;	//画图观察，三个条件缺一不可
	ch[x][1]=fa[y]=0;
	push_up(x);
	return true;
}

lift(split)

个人习惯把它叫作 \(\text{lift}\) ，其中 \(\text{lift}(x,y)\) 表示将路径 \((x,y)\) 实化，提起，以 \(x\) 作为根，如果 \((x,y)\) 不连通，则返回 \(\text{false}\)。

bool lift(int x,int y)
{
	make_root(x),access(y);
	return get_root(y)==x;
}

这是路径操作之前的一句话，完成后可以在 \(x\) 节点上打标记修改，\(x\) 节点也维护了路径的信息。

这个东西实在是个大坑，难以一文讲通，这里给出这道模板题的代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
const int N=3e5+5;
struct LinkCutTree
{
	int ch[N][2],fa[N];bool rev[N];
	int pw[N],Mx[N],tag[N];
	int stk[N],tp;
	void init(){create(0,0);}
	void create(int x,int val)
	{
		ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=rev[x]=0;
		tag[x]=0;pw[x]=Mx[x]=val;
	}
	bool isroot(int x){return x!=ch[fa[x]][0]&&x!=ch[fa[x]][1];}
	void reved(int x)
	{
		rev[x]^=1;
		std::swap(ch[x][0],ch[x][1]);
	}
	void taged(int x,int val)
	{
		tag[x]+=val;
		pw[x]+=val;
		Mx[x]+=val;
	}
	void push_up(int x)
	{
		Mx[x]=std::max(std::max(Mx[ch[x][0]],Mx[ch[x][1]]),pw[x]);
	}
	void push_down(int x)
	{
		if(rev[x])
		{
			if(ch[x][0])reved(ch[x][0]);
			if(ch[x][1])reved(ch[x][1]);
			rev[x]=0;
		}
		if(tag[x])
		{
			if(ch[x][0])taged(ch[x][0],tag[x]);
			if(ch[x][1])taged(ch[x][1],tag[x]);
			tag[x]=0;
		}
	}
	void rotate(int x)
	{
		int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
		if(!isroot(y))ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
		ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
		ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
		push_up(y),push_up(x);
	}
	void splay(int x)
	{
		stk[tp=1]=x;
		for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])stk[++tp]=fa[y];
		while(tp)push_down(stk[tp]),tp--;
		while(!isroot(x))
		{
			int y=fa[x],z=fa[y];
			if(!isroot(y))(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
			rotate(x);
		}
	}
	void access(int x)
	{
		for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
			splay(x),ch[x][1]=y,push_up(x);
	}
	void make_root(int x)
	{
		access(x),splay(x),reved(x);
	}
	int get_root(int x)
	{
		access(x),splay(x);
		while(ch[x][0])push_down(x),x=ch[x][0];
		splay(x);
		return x;
	}
	int get_fa(int x)
	{
		access(x),splay(x);
		if(!ch[x][0])return -1;
		push_down(x);
		x=ch[x][0];
		while(ch[x][1])push_down(x),x=ch[x][1];
		splay(x);
		return x;
	}
	bool link(int x,int y)
	{
		make_root(x);
		if(get_root(y)==x)return false;
		fa[x]=y;
		return true;
	}
	bool cut(int x,int y)
	{
		make_root(x);
		if(get_root(y)!=x||ch[x][1]!=y||ch[y][0])return false;
		ch[x][1]=fa[y]=0;
		push_up(x);
		return true;
	}
	bool lift(int x,int y)
	{
		make_root(x),access(y);
		return get_root(y)==x;
	}
	void update(int x,int y,int val)
	{
		lift(x,y);
		taged(x,val);
	}
	int query(int x,int y)
	{
		lift(x,y);
		return Mx[x];
	}
}LCT;
int n,m;

int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		LCT.init();
		FOR(i,1,n)LCT.create(i,0);
		FOR(i,1,n-1)
		{
			int u,v;
			scanf("%d%d",&u,&v);
			LCT.link(u,v);
		}
		FOR(i,1,n)
		{
			int x;
			scanf("%d",&x);
			LCT.update(i,i,x);
		}
		scanf("%d",&m);
		while(m--)
		{
			int op,x,y,z;
			scanf("%d",&op);
			if(op==1)
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				if(!LCT.link(x,y))puts("-1");
			}
			else if(op==2)
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				if(x==y||!LCT.lift(x,y))puts("-1");
				else
				{
					LCT.make_root(x);
					LCT.cut(y,LCT.get_fa(y));
				}
			}
			else if(op==3)
			{
				scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
				if(!LCT.lift(x,y))puts("-1");
				else LCT.update(x,y,z);
			}
			else if(op==4)
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				if(!LCT.lift(x,y))puts("-1");
				else printf("%d\n",LCT.query(x,y));
			}
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}