Luogu 1314 【NOIP2011】聪明的质检员（二分）

Description

小 T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有n个矿石，从 1 到n逐一编号，每个矿石都有自己的重量wi以及价值vi。检验矿产的流程是：

给定 m个区间[Li,Ri]；
选出一个参数W；
对于一个区间[Li,Ri]，计算矿石在这个区间上的检验值Yi：

\[Y_i= \sum_{j} 1×\sum _{j}v_j,j \in [L_i,R_i],W_j>=W
\]

这批矿产的检验结果Y为各个区间的检验值之和。即：

\[Y=\sum_{i=1}^{m}Y_i
\]

若这批矿产的检验结果与所给标准值 S相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小 T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数W的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 S，即使得S−Y的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。

Input

第一行包含三个整数n，m，S，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的n 行，每行2 个整数，中间用空格隔开，第i+1 行表示i 号矿石的重量wi 和价值vi 。

接下来的m 行，表示区间，每行2 个整数，中间用空格隔开，第i+n+1 行表示区间[Li,Ri]的两个端点Li 和Ri。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

Output

输出只有一行，包含一个整数，表示所求的最小值。

Sample Input

5 3 15

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

1 5

2 4

3 3

Sample Output

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1314

Source

二分

题目大意

给出n组二元组和m个区间，现在定义一个区间上的检验结果为这个区间上所有二元组中，第一个数大于W的二元组的第二个数*这些二元组的个数。定义整个的检验结果为给定的m个区间的检验结果之和。将整个的检验结果与一给定的标准值相比，两者之差的绝对值即为这个W对应的答案。现在求W让这个答案最小，求出最小值。

解决思路

讲题目的思路理清后，我们可以想到二分W的值。因为这个整个的检验结果与W是保持单调的，若W增大，则检验结果变小，反之变大。

所以我们可以二分W，每次二分出W后，计算一下其检验结果，若检验结果大于给定的S，则将左端点右移，否则将右端点左移。注意，最后输出的答案是每一次的检验结果与S作差的绝对值的最小值。

至于计算检验结果，因为题中给定的都是区间，所以我们可以每找出一个W后$O(n)$计算一下前缀和，然后$O(1)$地计算区间和。

注意，所有的变量都要开long long。

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define ll long long

const int maxN=300000;

const int inf=2147483647;

ll n,m,S;

ll Ans=1e13;

ll Weight[maxN];

ll Value[maxN];

ll Rangel[maxN];

ll Ranger[maxN];

ll Sum[maxN];

ll Cnt[maxN];

ll read();

bool Solve(ll nowW);

int main()

{

	n=read();

	m=read();

	S=read();

	ll l=0,r=0;

	for (int i=1;i<=n;i++)

	{

		Weight[i]=read();

		Value[i]=read();

		r=max(r,Weight[i]);//r取最大值

	}

	for (int i=1;i<=m;i++)

	{

		Rangel[i]=read();

		Ranger[i]=read();

	}

	r=r+100;//为了防止出错，扩大上限

	while (l<=r)//二分W

	{

		ll mid=(l+r)>>1;

		if (Solve(mid))

			l=mid+1;

		else

			r=mid-1;

		//cout<<l<<" "<<r<<endl;

	}

	cout<<Ans<<endl;

	return 0;

}

ll read()

{

	ll x=0;

	char ch=getchar();

	while ((ch<'0')||(ch>'9'))

		ch=getchar();

	while ((ch>='0')&&(ch<='9'))

	{

		x=x*10+ch-48;

		ch=getchar();

	}

	return x;

}

bool Solve(ll nowW)

{

	Sum[0]=0;

	Cnt[0]=0;

	for (int i=1;i<=n;i++)//计算前缀和，Sum是价值之和，Cnt是人数之和

	{

		Sum[i]=Sum[i-1]+((Weight[i]>=nowW)?(Value[i]):0);

		Cnt[i]=Cnt[i-1]+((Weight[i]>=nowW)?1:0);

	}

	ll tot=0;

	for (int i=1;i<=m;i++)//计算区间贡献之和

		tot+=(Sum[Ranger[i]]-Sum[Rangel[i]-1])*(Cnt[Ranger[i]]-Cnt[Rangel[i]-1]);

	Ans=min(Ans,abs(tot-S));//取最优值

	if (tot>=S)

		return 1;

	return 0;

}