快速沃尔什变换（FWT）笔记

开头Orz hy，Orz yrx

部分转载自hy的博客

快速沃尔什变换，可以快速计算两个多项式的位运算卷积（即and，or和xor）

问题模型如下：

给出两个多项式$A(x)$，$B(x)$，求$C(x)$满足$C[i]=\sum\limits_{j⊗k=i}A[j]*B[k]$.

约定记号

$⊗$表示某种位运算（and，or和xor中的一种），若$a$，$b$是两个整数，则$a⊗b$表示对这两个数按位进行位运算；若$A$，$B$是两个多项式，则$A⊗B$表示对这两个多项式做如上卷积；两个多项式的点积用$·$表示。

FWT

感觉这个算法就是瞎凑出来的（大佬轻喷）

考虑对$A$和$B$做某种变换（类似FFT），使得变换之后对应位相乘之后逆运算就可以得到卷积$C(x)$。

那么这种变换$F(A)$（其中$A$是一个多项式）需要满足：

$F(A)·F(B)=F(A⊗B)$

$F(k\ast A)=k\ast F(A)$

$F(A+B)=F(A)+F(B)$

那就瞎凑呗，考虑用类似FFT的分治思想来解决，把多项式$A$的下标按照二进制最高位分类，最高位为0的记为$A_0$，为1的记为$A_1$，则$A=(A_0,A_1)$。

继续凑，设$F(A)=(k_{1}A_{0}+k_{2}A_{1},k_{3}A_{0}+k_{4}A_{1})$，那么要做的就是求出这四个常数。

不难发现$(k_{1},k_{2})$与$(k_{3},k_{4})$并没有本质上的区别，即求出了前半部分的多个解取其中两个代入即可。

将结果写作$(C_{0},C_{1})$，看回之前变换的定义，这里分类讨论：

对于$and$：

因为

$0⊗0=0$，$1⊗0=0$，$0⊗1=0$，$1⊗1=1$

所以

$(A_{0},A_{1})⊗(B_{0},B_{1})=(A_{0}⊗B_{0}+A_{0}⊗B_{1}+A_{1}⊗B_{0},A_{1}⊗B_{1})$

用两种方法表示$C$，可得

$(k_{1}A_{0}+k_{2}A_{1})·(k_{1}B_{0}+k_{2}B_{1})$

$=k_{1}(A_{0}⊗B_{0}+A_{0}⊗B_{1}+A_{1}⊗B_{0})+k_{2}(A_{1}⊗B_{1})$

拆括号得：

$k_{1}^{2}(A_{0}⊗B_{0})+k_{1}k_{2}(A_{0}⊗B_{1})+k_{1}k_{2}(A_{1}⊗B_{0})+k_{2}^{2}(A_{1}⊗B_{1})$

$=k_{1}(A_{0}⊗B_{0})+k_{1}(A_{0}⊗B_{1})+k_{1}(A_{1}⊗B_{0})+k_{2}(A_{1}⊗B_{1})$

则有：

$\begin{cases}
k_{1}=k_{1}^{2} \\
k_{1}=k_{1}k_{2} \\
k_{2}=k_{2}^{2} 
\end{cases}$

解得$\begin{cases} k_{1}=0 \\k_{2}=0\end{cases}$或$\begin{cases} k_{1}=1 \\k_{2}=0\end{cases}$或$\begin{cases} k_{1}=1 \\k_{2}=1\end{cases}$

考虑到要可以逆变换，所以解不能选两个相同的或者两个零（类似于求逆矩阵），因此这里只能选$(0,1)$和$(1,1)$两组解

令$(k_{1},k_{2})=(1,1)$，$(k_{3},k_{4})=(0,1)$

把系数写成矩阵，那么

$\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \\ k_3 & k_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

把矩阵求逆，就可以得到逆变换的系数：

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

对于$or$：$(A_{0},A_{1})⊗(B_{0},B_{1})=(A_{0}⊗B_{0},A_{0}⊗B_{1}+A_{1}⊗B_{0}+A_{1}⊗B_{1})$

正变换：$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

逆变换：$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

对于$xor$：$(A_{0},A_{1})⊗(B_{0},B_{1})=(A_{0}⊗B_{0}+A_{1}⊗B_{1},A_{0}⊗B_{1}+A_{1}⊗B_{0})$

正变换：$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

逆变换：$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

代码（洛谷P4717）：

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define OR 0
 #define AND 1
 #define XOR 2
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=;
 int inv2,bit,bitnum,n,m,a[],b[],a1[],a2[],a3[],b1[],b2[],b3[];
 int fastpow(int x,int y){
     int ret=;
     for(;y;y>>=,x=(ll)x*x%mod){
         if(y&)ret=(ll)ret*x%mod;
     }
     return ret;
 }
 void fwt(int s[],int n,int ty,int op){
     for(int i=;i<=n;i<<=){
         for(int j=;j<n;j+=i){
             for(int k=;k<i/;k++){
                 int x=s[j+k],y=s[j+k+(i>>)];//A0,A1
                 if(op==){
                     if(ty==OR){
                         s[j+k+(i>>)]=(x+y)%mod;
                     }else if(ty==AND){
                         s[j+k]=(x+y)%mod;
                     }else{
                         s[j+k+(i>>)]=(x+mod-y)%mod;
                         s[j+k]=(x+y)%mod;
                     }
                 }else{
                     if(ty==OR){
                         s[j+k+(i>>)]=((ll)y-x+mod)%mod;
                     }else if(ty==AND){
                         s[j+k]=(ll)((ll)x+mod-y)%mod;
                     }else{
                         s[j+k+(i>>)]=(ll)((ll)x+mod-y)*inv2%mod;
                         s[j+k]=(ll)(x+y)*inv2%mod;
                     }
                 }
             }
         }
     }
 }
 int main(){
     scanf("%d",&bitnum);
     bit=(<<bitnum);
     inv2=fastpow(,mod-);
     for(int i=;i<bit;i++)scanf("%d",&a[i]),a1[i]=a[i],a2[i]=a[i],a3[i]=a[i];
     for(int i=;i<bit;i++)scanf("%d",&b[i]),b1[i]=b[i],b2[i]=b[i],b3[i]=b[i];
     fwt(a1,bit,,);
     fwt(a2,bit,,);
     fwt(a3,bit,,);
     fwt(b1,bit,,);
     fwt(b2,bit,,);
     fwt(b3,bit,,);
     for(int i=;i<bit;i++){
         a1[i]=(ll)a1[i]*b1[i]%mod;
         a2[i]=(ll)a2[i]*b2[i]%mod;
         a3[i]=(ll)a3[i]*b3[i]%mod;
     }
     fwt(a1,bit,,-);
     fwt(a2,bit,,-);
     fwt(a3,bit,,-);
     for(int i=;i<bit;i++)printf("%d ",a1[i]);
     printf("\n");
     for(int i=;i<bit;i++)printf("%d ",a2[i]);
     printf("\n");
     for(int i=;i<bit;i++)printf("%d ",a3[i]);
     return ;
 }