约瑟夫环问题详解(java版)

1 什么是约瑟夫环问题？

约瑟夫，是一个古犹太人，曾经在一次罗马叛乱中担任将军，后来战败，他和朋友及另外39个人躲在一口井里，但还是被发现了。罗马人表示只要投降就不死，约瑟夫想投降，可是其他人坚决不同意。怎么办呢，他想到一个主意：
让41个人围成一个圆圈，从第一个人开始报数，数到3的那个人被旁边的人杀死。这样就可以避免自杀了，因为犹太人的信仰是禁止自杀的。结果一群人杀来杀去最后只剩下两个了，就是约瑟夫和他朋友，于是两人愉快地去投降了。

约瑟夫和朋友站在什么位置才保住了性命呢，这就是我们今天要讲的约瑟夫环问题。

2 问题的重要性

这是个BAT常用面试题，而且本质上是一个游戏，可以广泛应用于生活中，工作生活好帮手就是它了。

3 约瑟夫环抽象问题

这个问题实际在讲：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的被杀掉，下一个人接着从1开始报，循环反复，直到剩下最后一个，那最后胜利者的初始位置在哪里？

模拟流程：
假如有5个人报数，报到3被杀，情况如下
A B C1 D E （初始位置，C第一个被杀）
D E A2 B (C死后的第二次排位，A第二个被杀)
B D E3 (A死后的第三次排位，E第三个被杀)
B4 D (E死后的第四次排位，B第四个被杀)
D (D留在了最后，初始位置是4)

解决方法：
1 循环遍历法

public static int josephus(int n, int m) {
//n个人, 0 1 2..n-1
int[] people = new int[n];
  //人的索引
   int index = -1;
  //报数记录, 1 2 3..m
int count = 0;
  //剩余人数初始值为n
int remain = n;

//为了找到最后一个幸存者的位置，假设所有人都会被杀
  while (remain > 0) {
index++; //找到报数的人
if (index == n) { //所有人遍历一圈后从头遍历
index = 0;
}
if (people[index] == -1) { //如果当前的人被杀跳过
continue;
}

count++; //报数
if (count == m) {
people[index] = -1; //报数到m后杀人
count = 0; //报数重置
remain--; //剩余人数递减
}
}
return index;
}

将41传入方法后，可得结果为30, 因为是从0开始计数，所以等价于现实世界的第31位。
如果约瑟夫也用这种常规方式去解决问题，那么就无法快速计算出自己应该站的位置了，所以一定有更简方法，那就是"递归法"。

2 递归法

模拟流程(第一种情况和上边表述相同)：
假如有5个人报数，报到3被杀，情况如下
0 1 2 3 4 （假设从0开始计算位置）
A B C1 D E （初始位置，C第一个被杀）
D E A2 B (C死后的第二次排位，A第二个被杀)
B D E3 (A死后的第三次排位，E第三个被杀)
B4 D (E死后的第四次排位，B第四个被杀)
D (D留在了最后，初始位置是3)

假如有4个人报数，报到3被杀，情况如下
0 1 2 3
A B C1 D（初始位置，C第一个被杀）
D A B2 (C死后的第二次排位，B第二个被杀)
D3 A (B死后的第三次排位，D第三个被杀)
A (D留在了最后，初始位置是0)

可以看到，n个人报数，死掉一个人后，变成了n-1个人报数的问题，和n-1个人直接报数的区别只在于下角标。那我们来看一下下角标使怎么变化的？我们把重新排位前的位置叫old,新的位置叫new, 则情况如下：
old new
D 3 -> 0
A 0 -> 1
B 1 -> 2
old = (new + 3)%4 -- 为了不超过n本身对n取模
old等价于f(n,m), n个人报数m的情况，而new等价于f(n-1,m),即为n-1个人报数m的情况。
则最终公式为 f(n,m) = (f(n-1,m) + m)%n

递归：是把复杂问题递推为最简问题，然后将结果回归的过程。
步骤：找规律 & 找出口
则编写代码如下。

public static int josephusByRec(int n, int m) {
if (n == 1) { //出口
return 0;
}
return (josephusByRec(n - 1, m) + m) % n;
}

4 总结

这是发生在公元66到67年间的故事，是一个来自2000年前古人的智慧，追古思今，你学会了吗？

———来自若愚小姐的算法课