P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物

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题意：

两个环x, y 长度都为n

k可取 0 ~ n - 1      c可取任意值

求 ∑ ( x[i] - y[(i + k) % n + 1] + c) ^ 2 的最小值

ans[k] = ∑ ( x[i], y[(i + k) % n + 1] ) ^ 2

拆项

发现ans[k] = ∑ x[i] ^ 2 + ∑ y[i] ^ 2  + n * c ^ 2 + 2 * ∑ x[i] * c - 2 * ∑ y[i] * c - 2 * ∑ x[i] * y[(i + k) % n + 1]

然后 就没有然后了

暴力一项一项解 处理出所有的ans 找最小值就行了

∑ x[i] ^ 2 + ∑ y[i] ^ 2

固定的直接算就行

n * c ^ 2 + 2 * ∑ x[i] * c- 2 * ∑ y[i] * c

把这个式子看作是关于c的

动用初中数学二次函数知识算出最小值

- 2 * ∑ x[i] * y[(i + k) % n + 1]

那么这个呢？ FFT大法好

这就很板子

然后是代码

 // luogu-judger-enable-o2
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <complex>
 using namespace std;
 const int N = 3e5 + ;
 const double pi = acos(-);
 typedef complex<double> cd;
 cd a[N], b[N];
 double f[N];
 int n, m, lim, l, r[N];
 int x[N], y[N], sx, sy;
 long long ans;

 inline void init(){
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i = ; i < n; i++){
         scanf("%d", &x[i]);
         a[i] = x[i], ans += x[i] * x[i], sx += x[i];
     }
     for(int i = ; i < n; i++){
         scanf("%d", &y[i]);
         b[i] = y[i], ans += y[i] * y[i], sy += y[i];
     }

     reverse(a, a + n); //翻转a
     for(int i = ; i < n; i++) b[i + n] = b[i];
     for(lim = ; lim <  * n; lim <<= ) l++;//注意是3 * n哦
 }

 inline void cal(){
     for(int i = ; i < lim; i++)
         r[i] = (r[i >> ] >> ) | ((i & ) << (l - ));
 }

 void fft(cd * c, int type){
     for(int i = ; i < lim; i++)
     if(i < r[i]) swap(c[i], c[r[i]]);
     for(int i = ; i < lim; i <<= ){
         cd xx(cos(pi / i), type * sin(pi / i));
         for(int j = ; j < lim; j += (i << )){
             cd yy(, );
             for(int k = ; k < i; k++, yy *= xx){
                 cd p = c[j + k], q = yy * c[i + j + k];
                 c[j + k] = p + q;
                 c[i + j + k] = p - q;
             }
         }
     }
 }

 int main(){
     init();
     cal();
     int as1 = floor(1.0 * (sy - sx) / n), as2 = ceil(1.0 * (sy - sx) / n);
     ans += min(n * as1 * as1 +  * (sx - sy) * as1, n * as2 * as2 +  * (sx - sy) * as2);
     fft(a, ); fft(b, );
     for(int i = ; i < lim; i++) a[i] *= b[i];
     fft(a, -);
     for(int i = n - ; i < (n << ) - ; i++)//统计答案 f[n - 1 + i] = ans[i];
         f[i] = round(a[i].real() / lim);
     ans -= *max_element(f + n - , f + (n << ) - ) * ;
     printf("%lld", ans);
     return ;
 }