P4180 [BJWC2010]严格次小生成树

P4180 [BJWC2010]严格次小生成树

P4180

题意

求出一个无向联通图的严格次小生成树。严格次小生成树的定义为边权和大于最小生成树的边权和但不存在另一棵生成树的边权和在最小生成树和严格次小生成树之间（不相等）。

思路

先求出一颗最小生成树，发现严格次小生成树一定是其断了一条边并加了一条边且边权和的增加量最小。

那么我们继续在最小生成树上做。对于每一条不是最小生成树上的边，求出其两端两点间在最小生成树上路径上的边的最大值。然鹅，如果用倍增LCA找，发现如果求出来的最大值与该边权值相等，那么得出的答案就是不合法的。所以我们还必须维护一个倍增范围内严格次小边权。

然后找到最小的值输出就行啦！

对于维护严格次小的值，我认为可以先求出最大值，然后比较找出与最大值不等的最大值就是次大值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int w=0,x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=1e5+10,maxm=3e5+10,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
	int n,m;
	struct Edge{
		int u,v,dis;
		bool is;
		inline bool operator <(const Edge &zp)const {return dis<zp.dis;}
	}e[maxm];
	int ecnt,head[maxn],to[maxn<<1],Fa[maxn],nxt[maxn<<1],v[maxn<<1],ans=INF,sum,fa[maxn][25],mx[maxn][25],pmx[maxn][25],dep[maxn];
	inline int find(int x){return Fa[x]==x?x:Fa[x]=find(Fa[x]);}
	inline void addedge(int a,int b,int c){
		to[++ecnt]=b,nxt[ecnt]=head[a],head[a]=ecnt,v[ecnt]=c;
		to[++ecnt]=a,nxt[ecnt]=head[b],head[b]=ecnt,v[ecnt]=c;
	}
	inline void kruskal(){
		for(int i=1;i<=n;i++)Fa[i]=i;
		sort(e+1,e+1+m);
		int cnt=0;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int fx=find(e[i].u),fy=find(e[i].v);
			if(fx!=fy){
				Fa[fx]=fy;
				addedge(e[i].u,e[i].v,e[i].dis);
				e[i].is=1;
				sum+=e[i].dis;
				if(++cnt==n-1)break;
			}
		}
	}
	void dfs(int x,int f){
		fa[x][0]=f;
		dep[x]=dep[f]+1;
		for(int i=0;i<=20;i++){
			fa[x][i+1]=fa[fa[x][i]][i];
			mx[x][i+1]=max(mx[x][i],mx[fa[x][i]][i]);
			if(mx[x][i+1]!=mx[x][i])pmx[x][i+1]=max(pmx[x][i+1],mx[x][i]);
			if(mx[x][i+1]!=mx[fa[x][i]][i])pmx[x][i+1]=max(pmx[x][i+1],mx[fa[x][i]][i]);
			if(mx[x][i+1]!=pmx[x][i])pmx[x][i+1]=max(pmx[x][i+1],pmx[x][i]);
			if(mx[x][i+1]!=pmx[fa[x][i]][i])pmx[x][i+1]=max(pmx[x][i+1],pmx[fa[x][i]][i]);
		}
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
			int u=to[i];
			if(u==f)continue;
			mx[u][0]=v[i];
			dfs(u,x);
		}
	}
	inline void LCA(int x,int y,int &mxx,const int &MX){
		if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
		for(int i=20;i+1;i--)if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]){
			if(mx[x][i]!=MX)mxx=max(mxx,mx[x][i]);
			else mxx=max(mxx,pmx[x][i]);
			x=fa[x][i];
		}
		if(x==y)return;
		for(int i=20;i+1;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
			if(mx[x][i]!=MX)mxx=max(mxx,mx[x][i]);
			else mxx=max(mxx,pmx[x][i]);
			x=fa[x][i];
			if(mx[y][i]!=MX)mxx=max(mxx,mx[y][i]);
			else mxx=max(mxx,pmx[y][i]);
			y=fa[y][i];
		}
		if(mx[x][0]!=MX)mxx=max(mxx,mx[x][0]);
			else mxx=max(mxx,pmx[x][0]);
		if(mx[y][0]!=MX)mxx=max(mxx,mx[y][0]);
			else mxx=max(mxx,pmx[y][0]);
	}
	inline void work(){
		n=read(),m=read();
		for(int i=1;i<=m;i++)e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].dis=read();
		kruskal();
		dfs(1,0);
		for(int i=1;i<=m;i++)if(!e[i].is){
			int x=e[i].u,y=e[i].v,MX=-INF;
			LCA(x,y,MX,e[i].dis);
			ans=min(ans,sum-MX+e[i].dis);
		}
		printf("%lld",ans);
	}
}
signed main(){
	star::work();
	return 0;
}