Miller-Rabin学习笔记

首先给出两个定理：

1.费马小定理

设p是一个素数，a是一个整数，且不是p的倍数，那么

\(a^{p−1} \equiv\ 1 \pmod p\)

2.二次探测定理

若\(p\)是素数，\(x\)是一个正整数，且\(x^2\ mod\ p\ =\ 1\)，那么\(x \equiv \pm 1 \pmod p\)

QwQ经过验证，发现费马小定理的逆定理是不成立的，但是，我们可以运用费马小定理的逆否命题来筛掉一些素数，然后接着用二次探测定理来筛

设被测的数为n，取一个比n小的正整数a，设\(n-1=d\times 2^r\)，若n是素数，则要么\(a^d\ mod\ n\ =\ 1\)，要么存在一个i，满足\(0 \le i\ <\ r\)且$a^{d\times 2^i}\ \ mod\ \ n\ =\ -1\ $

算法实现的过程大致是：

对于要判断的数n

1.先判断是不是2，是的话就返回true。

2.判断是不是小于2的，或合数，是的话就返回false。

3.令n-1=u*2^t，求出u，t，其中u是奇数。

4.听亢神的话，将a选为2,7,61,24251就可以了！

根据费马小定理，如果a^(n-1)≡1(mod p)那么n就极有可能是素数，如果等式不成立，那肯定不是素数了

因为n-1=u*2^t，所以a(n-1)=a^(u*2t)=(a^u)(2^t)。

5.所以我们令x=(a^u)%n

6.然后是t次循环，每次循环都让y=(x*x)%n，x=y,这样t次循环之后x=a^(u*2t)=a^(n-1)了

7.因为循环的时候y=(x*x)%n，且x肯定是小于n的，正好可以用二次探测定理，

如果(x^2)%n1，也就是y等于1的时候，假如n是素数，那么x1||x==n-1，如果x!=1&&x!=n-1，那么n肯定不是素数了，返回false。

8.运行到这里的时候x=a^(n-1)，根据费马小定理，x!=1的话，肯定不是素数了，返回false

对每一个上述的底数，都做一遍 就可以了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long

using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

ll a,k[10];

ll qsc(ll i,ll j,ll mod)
{
	ll ans=0;
	while (j)
	{
		if (j&1) ans=(ans+i)%mod;
		i=(i+i)%mod;
		j>>=1;
	}
	return ans;
}

ll qsm(ll i,ll j,ll mod)
{
	ll ans=1;
	while (j)
	{
		if (j&1) ans=(ans*i)%mod;
		i=(i*i)%mod;
		j>>=1;
	}
	return ans;
}

int t;
int n,m;

bool miller_rabin(ll x)
{
	if (x==2 || x==7 || x==61 || x==24251) return true;
	if (x==1) return false;
	ll t = x-1,mi=0; //将x-1分解成t*2^mi
	while (!(t&1))
	{
		t>>=1;
		mi++;
	}
	for (int i=1;i<=4;i++)
	{
		ll a=k[i];
		ll ymh = qsm(a,t,x); //a^t
		for (int j=1;j<=mi;j++)
		{
			ll front = ymh;//ymh
			ymh=qsc(ymh,ymh,x);//ymh^2 这里运用了二次探测定理
			if (ymh==1 && front!=1 && front!=x-1) return false;
		}
		if (ymh!=1) return false; //费马小定理的逆否命题
	}
	return true;
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  k[1]=2;
  k[2]=7;
  k[3]=61;
  k[4]=24251;
  while (m--)
  {
  	 ll x;
  	 scanf("%lld",&x);
  	 if (miller_rabin(x)) printf("Yes\n");
  	 else printf("No\n");
  }
  return 0;
}