差分约束系统——POJ1275

之前做过差分，但是没做过差分约束系统。

正好在学军机房听课讲到这道题，就顺带学了一下。

其实...就是列不等式组然后建图

作为蒟蒻，当然是不会加二分优化的啦...但是poj上还是94ms跑过了qwq

（其实是懒qwq）

解题分析放代码里了。

/*
算法：差分约束系统+二分
思路：设读入的人中，从i时刻开始的人数为num[i]，雇佣的人数为x[i]。
    i时刻需要的人为r[i]
    据此，可以列出两个不等式：
    1. 0<=x[i]<=num[i]
    2.sum( x[j] )>=r[i] (j=i-7~i)
    很容易想到用前缀和。
    s[i]=sum( x[j] ),j=1~i
    1. s[i]-s[i-1]<=num[i]
    2.  s[i]-s[i-8]>=r[i]    8<=i<=24
        s[i]-s[i+16]+s[24]>=r[i]     1<=i<8
        （s[i]-s[i+16]>=r[i]-s[24]）
    二分s[24],然后建图，根据差分约束系统.

    ps:差分约束系统中如果是>=,要么跑最长路，要么不等式两边同时*(-1)
*/

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
#define MAXN 25
#define inf 1<<20
struct node
{
	int to,weight,next;
}a[MAXN*30];
int head[MAXN],dis[MAXN],cnt[MAXN];
int tot,n,r[MAXN],t[MAXN];
bool vis[MAXN]; 

void add( int u,int v,int w )       //邻接表
{
    a[tot].to=v; a[tot].weight=w; a[tot].next=head[u]; head[u]=tot++;
}

void mem()      //初始化
{
    tot=0;
    for ( int i=0; i<MAXN; i++ )
    {
        head[i]=-1; dis[i]=inf; vis[i]=0; cnt[i]=0;
    }
    dis[0]=0;
}

void build( int ans )       //根据差分关系建图
{
    mem();
    add( 0,24,-ans );
    for ( int i=1; i<MAXN; i++ )
    {
        add( i-1,i,0 ); add( i,i-1,t[i] );
    }
    for ( int j=1; j<MAXN; j++ )
    {
        int i=(j+8)%24;
        if ( i>j ) add( j,i,-r[i] );
        else add( j,i,-r[i]+ans );
    }
}

/*
  SPFA判断是否有解
  因为这个解只有两种情况，无解和有解，而只要不是无解，
  第一个找到的有解即为最优解，所以只要没有负环就可以return 1
  其实这里可以加二分优化（单调性，人总是越多越好），但是程序中采用了直接枚举，
  复杂度也是可以接受的。
*/
bool check( int ans )
{
    queue<int> q;
    q.push( 0 ); vis[0]=1; cnt[0]=1;
    while ( !q.empty() )
    {
        int p,t=q.front();
        q.pop(); p=head[t]; vis[t]=0;
        while ( p!=-1 )
        {
            if ( dis[a[p].to] > dis[t]+a[p].weight )
            {
                dis[a[p].to]=dis[t]+a[p].weight;
                if ( !vis[a[p].to] )
                {
                    vis[a[p].to]=1;
                    q.push( a[p].to );
                    cnt[a[p].to]++;
                    if ( cnt[a[p].to]>24 ) return 0;
                }
            }
            p=a[p].next;
        }
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int T;
    scanf( "%d",&T );
    while ( T-- )
    {
        for ( int i=1; i<=24; i++ )
        {
            scanf( "%d",&r[i] ); t[i]=0;
        }
        scanf( "%d",&n );
        for ( int i=0; i<n; i++ )
        {
            int tmp;
            scanf( "%d",&tmp ); t[tmp+1]++;
        }

        bool flag=1;
        for ( int i=0; i<=n; i++ )
        {
            build( i );
            if ( check(i) )
            {
                printf( "%d\n",i );
                flag=0; break;
            }
        }
        if ( flag ) printf( "No Solution\n" );
    }
}

update 2020.3.26

发现这道题lyd书里也有…… 393.雇佣收银员