题解 BZOJ4709

题目描述

一道简单DP优化调了好久qwq

首先分析题目，发现每次从一边取贝壳是完全没用的，此题本质就是将区间分成数个区间，使区间价值和最大。

可以发现一个性质，那就是最优解的每个区间的两端点一定相同且为选取的\(s_0\)。因为如果区间两端点的值不同，那么完全可以将多余的值分为另一个区间使价值和更大。

所以可以写出简单的dp式：

\(dp[i] = max(dp[j-1] + s[i] * (sum[i] - sum[j]+1)^2) \quad (s[j] == s[i])\)

其中\(sum[i]\)为1…i中\(s[i]\)的个数，可以简单的\(O(1)\)维护，所以总复杂度\(O(n^2)\)

观察单调性，发现对于决策a,b\((a<b)\)如果在k处a比b优，那么在k之后a也一定比b优，而k可以通过二分\(O(log_n)\)求出

所以可以使用单调栈维护最优决策，对于每次决策，如果栈顶不优了就弹出栈顶。同时，为了维护栈的单调性，每次入栈z时，如果z与栈顶元素的分界点\(k_1\)比栈顶与栈顶的下一个元素的分界点\(k_2\)靠后，那么便可以弹出栈顶元素。

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    Problem: 4709
    User: liuxinyuan
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:328 ms
    Memory:3144 kb
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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <vector>
#define gc getchar
#define il inline
#define re register
#define LL long long
#define mid(l, r) (((l) + (r)) >> 1)
#define sqr(x) (1ll * (x) * 1ll * (x))
#define m_p(x, y) make_pair(x, y)
using namespace std;
template <typename T>
void rd(T &s)
{
    s = 0;
    bool p = 0;
    char ch;
    while (ch = gc(), p |= ch == '-', ch < '0' || ch > '9')
        ;
    while (s = s * 10 + ch - '0', ch = gc(), ch >= '0' && ch <= '9')
        ;
    s *= (p ? -1 : 1);
}
template <typename T, typename... Args>
void rd(T &s, Args &... args)
{
    rd(s);
    rd(args...);
}
const int MAXM = 10005;
const int MAXN = 100050;
vector<int> sta[MAXM];
LL dp[MAXN];
int s[MAXN];
int cnt[MAXM], sum[MAXN];
int n;
il LL cal(int x, int y)
{
    return dp[x - 1] + s[x] * 1ll * y * 1ll * y;
}
int lower(int a, int b)
{
    int v = s[a];
    int l = 1, r = cnt[v], ans = cnt[v] + 1;
    while (l <= r)
    {
        int m = mid(l, r);
        if (cal(a, m - sum[a] + 1) >= cal(b, m - sum[b] + 1))
            ans = m,
            r = m - 1;
        else
            l = m + 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int v;
    rd(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        rd(s[i]);
        sum[i] = ++cnt[s[i]];
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        v = s[i];
        while (sta[v].size() >= 2 && lower(sta[v][sta[v].size() - 2], sta[v][sta[v].size() - 1]) < lower(sta[v][sta[v].size() - 1], i))
            sta[v].pop_back();
        sta[v].push_back(i);
        while (sta[v].size() >= 2 && lower(sta[v][sta[v].size() - 2], sta[v][sta[v].size() - 1]) <= sum[i])
            sta[v].pop_back();
        dp[i] = cal(sta[v][sta[v].size() - 1], sum[i] - sum[sta[v][sta[v].size() - 1]] + 1);
        // cout << i << " " << sta[v][sta[v].size() - 1] << endl;
    }
    // for (int i = 1; i <= n; ++i)
    printf("%lld", dp[n]);
    return 0;
}