[MIT6.006] 5. Binary Search Trees, BST Sort 二分搜索树，BST排序

第5节课主要讲述了二分搜索树概念和BST排序。讲师提出一个关于“跑道预订系统”的问题，假设飞机场只有一个跑道，飞机需要为未来降落时间t进行预订，如果时间集合R中，在t时间前后k分钟内没有其他飞机着陆计划，时间t可以被安排进R中。那么请问“时间t被安排进R”的时间复杂度能不能为Ο(log₂n)（假设R长度为n）？

首先我们先看下图的一个例子：

如果现在时间是37, 然后R集合中，在41.2，49，和56.3三个时间点上，其他飞机已经预订了跑道。如果我此次要预订t=53进行着陆，是可以安排的因为49+3<53<56.3-3，而如果是t=44，飞机无法安排因为t=41.2的飞机着陆完毕后t=41.2+3=44.2>41.2。而t=20的时间也不能安排，因为现在已经是t=37了。“挨个遍历R中所有元素进行时间t的比较”下的时间复杂度是Ο(n)。

如果时间集合R是个已经排好序的数列，那么就可以用之前课程提到的二分查找法去做，具体如下图所示：

假设想要安排的时间t=34，那么我想从中间开始对比，t=34>32，那么之后就在数列右半边的中间数进行对比，最后找到插入点位于32和37之间。整个操作除了二分查找插入点还有移动（shifting，因为插入点后的数据需要向后移动），整个过程的时间复杂度是Ο(log₂n+n)， n的原因是最坏情况下，插入点在数列首元素前面。

而如果通过第4节课的Heap来做，时间复杂度是Ο(n)。可见，以上三种方法都不能实现Ο(log₂n)的时间复杂度，为此讲师提出了二分搜索树（BST）进行操作。BST的该概念如下图所示：

二分搜索树的属性是，对于所有结点x:

• 如果y是x的左子树，y的值 ≤ x的值；
• 如果y是x的右子树，y的值 ≥ x的值；

举个构建BST和插入飞机时间t的例子：

先重构建BST说起：

1. 插入49，放在树的顶端；
2. 插入79，因为79>49，放在49右下边；
3. 插入46，因为46<49，放在49左下边；
4. 插入41，因为41<46，放在41左下边。

此时要插入时间t=42（k=3）：

1. 42<49-3，可以放在49左下边；
2. 42<46-3，可以放在46左下边；
3. 41+3>42，所以42不能放在41右下边，因此t=42不能被安排进R。

若h为BST的高，那么插入（不带检查）的时间复杂度是Ο(h)。

之后讲师提出一个新问题：求Rank(t) - 在时间≤t下，多少飞机能被安排进R？在回答这个问题之前，需要了解关于“子树尺寸subtree size”的概念，如下图所示：

子树尺寸subtree size = 当前结点（1个）+ 当前结点下所有结点数。

那么，在“时间≤t下，多少飞机能被安排进R？”的解决步骤如下：

1. 树向下走到最终该达到的时间点（walk down tree to find desired time）；
2. 对较小的结点进行添加操作（add in the nodes that are smaller）;
3. 将左子树尺寸进行添加操作（add in the subtree size to the left）。

上面的步骤可能比较难理解，但通过下面例子就能很好的明白了：

1. 如果问题中的t=79，那么先看BST的根节点：49<79，则+1；
2. 看左子树：对49的左子树尺寸进行添加操作，则+2；
3. 看右子树：79=79，则+1，对79的左子树尺寸进行添加操作，再加2；

最后结果为5（即时间≤79下，5个飞机能被安排进R）。

关于“时间t被安排进R”的时间复杂度能不能为Ο(log₂n)？”和BST时间复杂度Ο(h)的关系将在后面课程进行讲解。