计蒜客 第四场 C 商汤科技的行人检测（中等）平面几何好题

商汤科技近日推出的 SenseVideo 能够对视频监控中的对象进行识别与分析，包括行人检测等。在行人检测问题中，最重要的就是对行人移动的检测。由于往往是在视频监控数据中检测行人，我们将图像上的行人抽象为二维平面上若干个的点。那么，行人的移动就相当于二维平面上的变换。

在这道题中，我们将行人的移动过程抽象为 旋转、伸缩、平移，有 44 个 移动参数：\theta, scale, d_x,d_yθ,scale,d​x​​,d​y​​。每次行人的移动过程会将行人对应的 nn 个点全部依次应用旋转、伸缩、平移，对于平移前的点 (x, y)(x,y)，进行每种操作后的坐标如下：

• 旋转后的坐标为：(x \cos\theta - y \sin\theta, x \sin\theta + y \cos\theta)(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)；
• 伸缩后的坐标为：(x \times scale, y \times scale)(x×scale,y×scale)；
• 平移后的坐标为：(x + d_x, y + d_y)(x+d​x​​,y+d​y​​)。

由于行人移动的特殊性，我们可以确保 0 < scale \le 100<scale≤10。和简单版本不同的是，这道题处理的坐标为浮点数而非整数。

很显然，通过变换前后的正确坐标，很容易算出行人的移动参数，但问题没有这么简单。由于行人实际的移动并不会完全按照我们预想的方式进行，因此，会有一部分变换后的坐标结果不正确，但可以确保 结果不正确的坐标数量严格不超过一半。

你现在作为商汤科技的实习生，接手了这个有趣的挑战：算出行人的移动参数。如果不存在一组合法的移动参数，则随意输出一组参数；如果有多种合法的移动参数，输出其中任意一组合法的即可。

输入格式

第一行输入一个整数 nn，表示行人抽象出的点数。

接下来 nn 行，每行 44 个 浮点数。前两个数表示平移前的坐标，后两个数表示平移后的坐标。

坐标范围在 -10^9−10​9​​ 到 10^910​9​​ 之间，输入的坐标都保留到 66 位小数。

对于中等版本，1 \le n \le 5001≤n≤500；

对于困难版本，1 \le n \le 10^{5}1≤n≤10​5​​。

输出格式

第一行输出一个浮点数 \thetaθ，第二行输出一个浮点数 scalescale，第三行输出两个浮点数 d_x,d_yd​x​​,d​y​​。

建议输出保留到 1010 位小数或以上。我们会按照 10^{-3}10​−3​​ 的精度判断是否有超过一半的点变换后的坐标重合。

样例输入

5
0 0 -1 1
0 1 -2 1
1 0 -1 2
1 1 0 0
2 1 1 0

样例输出

1.5707963268
1
-1 1

解题思路: 
n^2枚举点对，然后根据这对点算出四个参数，然后重新跑一遍点，判断有多少个点的变换符合这个四个参数，超过一半就正确直接输出。 
具体的算法。 
scale 两个点之间的距离跟旋转和平移都没有关系，然后根据相似三角形可以知道两点之间距离的变化就是scale。

坐标旋转量θ：旋转坐标前两个点形成的直线向量A，和旋转坐标后的两个点形成的直线向量B，A，B的夹角就是θ，可以证明，这里就不说了，然后用一下公式cosθ=A*B/(|A|*|B|), 就能算出角度了。

dx,dy用scale和θ算出的坐标和题目给的坐标一减就出来了

。。真强。。。这位大佬高中数学肯定贼好。。数学弱只能感受一波了，原来利用任意两个点 本来->变化后，可以求出这么多东西，可以求出伸缩量，利用旧的两点距离和新的亮点距离成比例就好，还有就是角度，利用旧的线的旋转角度后变成新的线的角度（。。强。。然后就可以利用 A*B/(|A|*|B|) 求出角度了。。涨知识。。虽然不知道会记住多少。。加油加油）

A，B 都为两点相减。 
坑点：一定要输出10位以后，scanf一定要%lf 输出%lf 或者 %.11f 都可以

上面的证明我不会，问题其实还没有解决

原问题是：(x1,y1)=>(x2,y2),当然(x1,y1)依次经过旋转缩放和平移得到了(x2,y2)

如何求出旋转量theta,缩放比例和平移的横纵坐标呢

这.....想了很久，没想出来

但是题解是这么搞的，枚举变换的两对点对，根据每个点对变换前的点连线，和变换后的两个点连线，然后根据余弦定理算出角度，顺便算出缩放比例

然后返回去算下平移变化....

也就是说，相当于增加了方程变量的个数，它的意思是说，角度theta是可以暴力枚举的，如果你能想到上面的证明

于是我发现我的推理能力还是太弱了