BSGS算法解析

前置芝士：

1.快速幂（用于求一个数的幂次方）

2.STL里的map（快速查找）

详解

BSGS 算法适用于解决高次同余方程 \(a^x\equiv b (mod p)\)

由费马小定理可得 x <= p-1

我们设 \(m = sqrt(p)\) 至于为什么写，下文会讲到。

那么\(x\)就可以用 \(m\) 表示出来。

即 x = \(k \times m - j\)

移项可得 \(a^t \equiv b\times a^j\) 其中 t = \(k \times m\)

这也就是我们为什么把\(x\)用 \(k \times m - j\)来表示。

因为改为加\(j\)后，移项后要求逆元，就会变得很麻烦。

这样，我们就可以枚举每个\(k\)和\(j\)，来判断左右两边得值是否相等就行了。

首先，我们可以枚举j 将 \(b\times a^j\)放入map中。

然后，从小到大枚举\(k\),在哈希表中，找到最大的\(j\)满足 \(a^t \equiv b\times a^j\) 其中 t = \(k \times m\)

若存在\(k\times m -j\)就是方程的解

关于上文中，为什么要设\(m = sqrt(p)\)

是为了保证BSGS的复杂度，是左右两边的数尽可能的均匀。

例题

P3846 [TJOI2007] 可爱的质数

模板题，水过去了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
int a,b,p;
LL ksm(LL a, LL b)
{
	LL res = 1;
	for(; b; b >>= 1)
	{
		if(b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p;
	}
	return res;
}
int BSGS(int a,int b,int p)
{
	map<LL,int> hash;  hash.clear();
	int m = (int)sqrt(p);
	for(int i = 0; i <= m; i++)
	{
		LL val = ksm(a,i) * b % p;//b * a ^ i
		hash[val] = i;//放入map中
	}
	a = ksm(a,m);//a ^ m
	for(int i = 0; i <= m; i++)
	{
		LL val = ksm(a,i);//(a^m)^i
		int j = hash.find(val) == hash.end() ? -1 : hash[val];//如果没有j就为-1
		if(j >= 0 && i * m - j >= 0) return i * m - j;//找到一组解
	}
	return -1;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&p,&a,&b);
	LL ans = BSGS(a,b,p);
	if(ans == -1) cout<<"no solution"<<endl;
	else printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

P2485 [SDOI2011]计算器

一道很多算法综合在一起的模板题，水过去了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
#define LL long long
int t,opt,a,b,p,x,y;
inline int read()
{
	int s = 0, w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10+ch -'0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
LL gcd(LL a, LL b)
{
	if(b == 0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}
LL ksm(LL a, LL b)//快速幂
{
	LL res = 1;
	for(; b; b >>= 1)
	{
		if(b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p;
	}
	return res;
}
LL exgcd(int a,int b, int &x,int &y)//扩展欧几里得
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
        return a;
	}
	LL gcd = exgcd(b,a%b,y,x);
	y -= a / b * x;
	return gcd;
}
LL BSGS(LL a,LL b,LL p)//BSGS
{
	map<LL,int> hash; hash.clear();
	int m = (int) sqrt(p);
	b % p;
	for(int i = 0; i <= m; i++)
	{
		LL tmp = ksm(a,i) * b % p;
		hash[tmp] = i;
	}
	a = ksm(a,m);
	if(a == 0) return b == 0 ? 1 : -1;//特判当a为0的情况
	for(int i = 0; i <= m; i++)
	{
		LL tmp = ksm(a,i);
		int j = hash.find(tmp) == hash.end() ? -1 : hash[tmp];
		if(j >= 0 && i * m - j >= 0) return i * m - j;
	}
	return -1;
}
int main()
{
	t = read(); opt = read();
	while(t--)
	{
		a = read(); b = read(); p = read();
		if(opt == 1)
		{
			LL ans = ksm(a,b);
			printf("%lld\n",ans);
		}
		if(opt == 2)
		{
			LL k = exgcd(a,p,x,y);
			if(b % k) cout<<"Orz, I cannot find x!"<<endl;
			else printf("%lld\n",(x * (b/k) % p + p)%p);
		}
		if(opt == 3)
		{
			LL ans = BSGS(a,b,p);
			if(ans == -1) cout<<"Orz, I cannot find x!"<<endl;//无解情况
			else printf("%lld\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

ENDING