[BSGS算法]纯水斐波那契数列

学弟在OJ上加了道“非水斐波那契数列”，求斐波那契第n项对1,000,000,007取模的值，n<=10^15，随便水过后我决定加一道升级版，说是升级版，其实也没什么变化，只不过改成n<=10^30000000，并对给定p取模，0<p<2^31。一样很水嘛大家说对不对。

下面来简单介绍一下BSGS算法，BSGS（Baby steps and giant steps），又称包身工树大步小步法，听上去非常高端，其实就是一个暴力搜索。比如我们有一个方程，a^x≡b (mod c)，x是未知数，怎么算？难道是什么神奇的数学公式？直觉和经验告诉我们这玩意儿并不好算，无奈的我们只好枚举x，欧拉dalao告诉我们a^φ(c)≡1 (mod c)，再怎么不济，我们O(c)也能算出答案……平时我们常见的模数一般都有十亿左右，明显要T啦，怎么办？

别急，我们来回顾一个经典问题，给你有n个数的集合，问他有多少个子集和为x。(n<=100,000，x<=10^18)

别想了，我也不会做，只好把数据改一改，n<=20？暴力就过啦。n<=50？此时有个常见的做法，我们枚举前n/2个数的和，开个map存下，再枚举后n/2个数，用x减掉枚举出的和再去map里找……复杂度O(2^(n/2))（可能还要多个log）。我们再考虑下子集积？发现并没有区别，枚举前n/2个数的积，存下，再枚举后n/2个数，用x乘上枚举出的积的逆元（假设取模）……是不是想到了什么？我们像快速幂那样把a^x表示成a^1,a^2,a^4,a^8……的积，解那个方程不就是做子集积吗？实际上不用这么麻烦，我们把x表示成只有两位的k进制数，我们就只要枚举两位了，令x=Ak+B，则a^(Ak+B)≡b (mod c)，移项得a^Ak≡b*a^-B (mod c)，我们先枚举A，算出等式左边，存入map里，再枚举B，算出等式右边，去map里找，就能算出答案啦。要保证这个k进制数只有两位，k自然大约是c^0.5。实际上我们可以稍微把k改大一点（或者A多枚举一点），把x改成x=Ak-B，这样有什么好处呢？你代回去再移一次项就会发现，我们不用算逆元啦！于是我们得到一个较为高效的求解指数方程的算法，复杂度大概是O(c^0.5)（视具体实现可能会多个log）。

好了，我们回到斐波那契数列，10^30000000明显就算我们用某klogklogn的算法也不是很好受（纯属口胡）。实际上很容易想到，斐波那契对一个数取模必然有循环节，因为每一项只和前两项有关，两项数的取值最多p^2种（p为模数），所以循环节至多p^2。事实上，某篇论文证明了，斐波那契数列对p取模的循环节不会超过6p（其实论文中还给出了对于不同的p，循环节的计算方法，不过复杂度应该和接下来要讲的BSGS做法相同(理论上论文做法更优，但我们肯定不想总依靠玄学的论文吧)，有兴趣的可以百度一下）。那么我们如何用BSGS算出循环节呢？假设斐波那契数列的递推矩阵为A，我们只要求出A^x≡A (mod p)的一个大于1的解就可以了，求解过程和整数方程并没有太大区别。求出循环节后把那巨长无比的数字串取模下，随便水过该题。

以下是加了一些奇怪的常数优化的代码……如果看的时候遇到一些不知道在干嘛的地方，跳过就好了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define MN 30000050
#define K 115000
char s[MN+];
int mod;
struct mat
{
    int z[][];
    mat(){memset(z,,sizeof(z));}
    mat operator*(mat b)
    {
        mat c;int i,j,k;
        for(i=;i<;++i)for(j=;j<;++j)
            for(k=;k<;++k)c.z[i][j]=(c.z[i][j]+(ll)z[i][k]*b.z[k][j])%mod;
        return c;
    }
    friend bool operator<(mat a,mat b)
    {
        for(int i=;i<;++i)for(int j=;j<;++j)
        {
            if(a.z[i][j]<b.z[i][j])return true;
            if(a.z[i][j]>b.z[i][j])return false;
        }
    }
}f,k,p;
mat pow(ll x)
{
    mat r=f,t=f;
    for(--x;x;x>>=,t=t*t)if(x&)r=r*t;
    return r;
}
map<mat,int> mp;
int main()
{
    int i,l,r,mid;ll x,x1,x2,x3,x4,rp;
    f.z[][]=f.z[][]=f.z[][]=;
    fread(s,,MN,stdin);
    for(l=,r=MN;l<=r;)
        if(s[mid=l+r>>])l=mid+;
        else i=mid,r=mid-;
    while(s[--i]<''||s[i]>'')s[i]=;
    while(s[i]>=''&&s[i]<='')--i;
    for(l=i;s[l]<''||s[l]>'';)s[l--]=;
    while(s[++i]>=''&&s[i]<='')mod=(mod<<)+(mod<<)+s[i]-'',s[i]=;
    for(p=k=pow(K),i=;i<=K;++i)p=p*k,mp[p]=i;
    for(p=f,i=;i<=K;++i,p=p*f)if(x=mp[p]){rp=x*K-i;break;}
    for(x1=x2=x3=x4=,i=;s[i];i+=)
        x1=(x1*+s[i-]-'')%rp,
        x2=(x2*+s[i-]-'')%rp,
        x3=(x3*+s[i-]-'')%rp,
        x4=(x4*+s[i  ]-'')%rp;
    x=(x1*+x2*+x3*+x4)%rp;
    for(i-=;s[i];++i)x=((x<<)+(x<<)+s[i]-'')%rp;
    p.z[][]=p.z[][]=;if(x<)x+=rp;
    printf("%d",(p*pow(x-)).z[][]);
}

正常版

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define MN 30000000
#define K 115000
char s[MN+];
int mod;
struct mat
{
    int z[][];
    mat(){memset(z,,sizeof(z));}
    mat operator*(mat b)
    {
        mat c;int i,j,k;
        for(i=;i<;++i)for(j=;j<;++j)
            for(k=;k<;++k)c.z[i][j]=(c.z[i][j]+(ll)z[i][k]*b.z[k][j])%mod;
        return c;
    }
    friend bool operator<(mat a,mat b)
    {
        for(int i=;i<;++i)for(int j=;j<;++j)
        {
            if(a.z[i][j]<b.z[i][j])return true;
            if(a.z[i][j]>b.z[i][j])return false;
        }
    }
}f,k,p;
mat pow(ll x)
{
    mat r=f,t=f;
    for(--x;x;x>>=,t=t*t)if(x&)r=r*t;
    return r;
}
map<mat,int> mp;
int main()
{
    int i;ll x,rp;
    f.z[][]=f.z[][]=f.z[][]=;
    scanf("%s%d",s,&mod);
    for(p=k=pow(K),i=;i<=K;++i)p=p*k,mp[p]=i;
    for(p=f,i=;i<=K;++i,p=p*f)if(x=mp[p]){rp=x*K-i;break;}
    for(i=x=;s[i];++i)x=((x<<)+(x<<)+s[i]-'')%rp;
    p.z[][]=p.z[][]=;if(x<)x+=rp;
    printf("%d",(p*pow(x-)).z[][]);
}